\[
u(t) = f(t) + a \int_0^t u(s) ds, \qquad t \ge 0
\]
trovando l'espressione esplicita della soluzione.
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Il problema principale di tutto l'esercizio riguarda la regolarità di $f$: infatti, se supponiamo $f$ derivabile e cerchiamo quindi soluzioni nello spazio delle funzioni derivabili, l'esercizio diventa banale e si riduce a una semplice equazione differenziale ordinaria lineare, del primo ordine.
Fatta questa osservazione preliminare, ho pensato che, per cominciare, uno può farsi venire in mente Banach-Caccioppoli. L'idea è sfruttare la forma in cui è scritta l'equazione e ricondurre il tutto a un problema di punto fisso.
Allora prendo \( \displaystyle X=(C([0,1]), \Vert \cdot \Vert_{\infty}) \) che è di Banach e definisco l'operatore
\[
\begin{split}
T \colon & X \to X \\
& u(t) \mapsto f(t) + a \int_0^t u(s) ds
\end{split}
\]
L'operatore è ben definito, nel senso che $T(u)$ è una funzione continua: anzi, è lipschitziana e se \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) è una contrazione. I passaggi sono standard: si maggiora il valore assoluto dell'integrale con l'integrale del valore assoluto etc Alla fine si ottiene
\[
\Vert Tu_1 - Tu_2 \Vert_{\infty} \le \vert a \vert \Vert u_1 - u_2 \Vert_{\infty}
\]
e quindi se \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) abbiamo una contrazione. Per il teorema di Banach Caccioppoli, dunque, $T$ ammette punto fisso e l'equazione ha soluzione.
Come trovarla? La teoria ci dice che il punto fisso dell'operatore è il limite della successione definita per ricorsione come $x_0 = \tilde{x}$ e $x_{n+1}=T(x_n)$ per ogni $n \in \mathbb N$, dove $\tilde{x}$ è un qualsiasi elemento di $X$. Chi scegliamo?
La mia idea era prendere la funzione costante $u_0\equiv f(0)$; in tal modo,
\[
u_1(t) = f(t) + \int_0^t f(0)ds= f(t) + f(0)t
\]
e
\[
u_2(t) = f(t) + \int_0^t f(s) + f(0)s ds = f(t) + \int_0^t f(s)ds + f(0)\frac{t^2}{2}
\]
In generale, l'espressione di $u_n$ è piuttosto bruttina perchè tira in ballo l'integrale dell'integrale dell'integrale ... di $f$, il che mi pare ben poco sensato. Dov'è l'errore?
Avete idea di come finire? E il caso \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) ?
Fatta questa osservazione preliminare, ho pensato che, per cominciare, uno può farsi venire in mente Banach-Caccioppoli. L'idea è sfruttare la forma in cui è scritta l'equazione e ricondurre il tutto a un problema di punto fisso.
Allora prendo \( \displaystyle X=(C([0,1]), \Vert \cdot \Vert_{\infty}) \) che è di Banach e definisco l'operatore
\[
\begin{split}
T \colon & X \to X \\
& u(t) \mapsto f(t) + a \int_0^t u(s) ds
\end{split}
\]
L'operatore è ben definito, nel senso che $T(u)$ è una funzione continua: anzi, è lipschitziana e se \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) è una contrazione. I passaggi sono standard: si maggiora il valore assoluto dell'integrale con l'integrale del valore assoluto etc Alla fine si ottiene
\[
\Vert Tu_1 - Tu_2 \Vert_{\infty} \le \vert a \vert \Vert u_1 - u_2 \Vert_{\infty}
\]
e quindi se \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) abbiamo una contrazione. Per il teorema di Banach Caccioppoli, dunque, $T$ ammette punto fisso e l'equazione ha soluzione.
Come trovarla? La teoria ci dice che il punto fisso dell'operatore è il limite della successione definita per ricorsione come $x_0 = \tilde{x}$ e $x_{n+1}=T(x_n)$ per ogni $n \in \mathbb N$, dove $\tilde{x}$ è un qualsiasi elemento di $X$. Chi scegliamo?
La mia idea era prendere la funzione costante $u_0\equiv f(0)$; in tal modo,
\[
u_1(t) = f(t) + \int_0^t f(0)ds= f(t) + f(0)t
\]
e
\[
u_2(t) = f(t) + \int_0^t f(s) + f(0)s ds = f(t) + \int_0^t f(s)ds + f(0)\frac{t^2}{2}
\]
In generale, l'espressione di $u_n$ è piuttosto bruttina perchè tira in ballo l'integrale dell'integrale dell'integrale ... di $f$, il che mi pare ben poco sensato. Dov'è l'errore?
Avete idea di come finire? E il caso \( \displaystyle \vert a \vert < 1 \) ?
Grazie in anticipo.
