\[
f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}.
\]
Trovare i punti di massimo e di minimo di \( \displaystyle f \) su \( \displaystyle S \) .
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Svolgimento. E' chiaro che bisogna "andare" di moltiplicatori: per levarci dalle scatole un po' di brutte radici, sfruttiamo la monotonia della funzione \( \displaystyle t \mapsto t^2 \) (per $t \ge 0$) e dedichiamoci a studiare la più comoda \( \displaystyle f^2(x,y)=x^2+y^2 \) su \( \displaystyle S \) .
Poniamo \( \displaystyle L(x,y,\lambda):=x^2+y^2-\lambda\left(\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1\right) \) e troviamo gli estremi (liberi) di \( \displaystyle L \) . Ne risulta il sistema
\[
\begin{cases}
x(2-\lambda x^2) = 0 \\
(2-\lambda) y = 0 \\
\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1 = 0
\end{cases}
\]
Dalla seconda \( \displaystyle y=0 \) o \( \displaystyle \lambda=2 \) : se \( \displaystyle y=0 \) , allora \( \displaystyle x=\pm \sqrt[4]{4}=\sqrt{2} \) : inoltre, \( \displaystyle f(\pm \sqrt[4]{4}, 0) = \sqrt{2} \) .
Se \( \displaystyle \lambda=2 \) trovo invece \( \displaystyle x=0 \) (che sostituito nel vincolo porge \( \displaystyle y=\pm \sqrt{2} \) ) o \( \displaystyle x=\pm 1 \) (che porge \( \displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \) ).
To sum up, i punti \( \displaystyle (\pm \sqrt{2}, 0) \) e \( \displaystyle (0,\pm \sqrt{2}) \) sono di minimo assoluto su \( \displaystyle S \) giacché \( \displaystyle f(\pm \sqrt{2}, 0) = f(0,\pm \sqrt{2}) = \sqrt{2} \) ; d'altra parte, i punti \( \displaystyle \left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \) e \( \displaystyle \left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \) sono di massimo assoluto su \( \displaystyle S \) , giacché \( \displaystyle f\left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)=f\left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2.5} > \sqrt{2} \) .
Poniamo \( \displaystyle L(x,y,\lambda):=x^2+y^2-\lambda\left(\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1\right) \) e troviamo gli estremi (liberi) di \( \displaystyle L \) . Ne risulta il sistema
\[
\begin{cases}
x(2-\lambda x^2) = 0 \\
(2-\lambda) y = 0 \\
\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1 = 0
\end{cases}
\]
Dalla seconda \( \displaystyle y=0 \) o \( \displaystyle \lambda=2 \) : se \( \displaystyle y=0 \) , allora \( \displaystyle x=\pm \sqrt[4]{4}=\sqrt{2} \) : inoltre, \( \displaystyle f(\pm \sqrt[4]{4}, 0) = \sqrt{2} \) .
Se \( \displaystyle \lambda=2 \) trovo invece \( \displaystyle x=0 \) (che sostituito nel vincolo porge \( \displaystyle y=\pm \sqrt{2} \) ) o \( \displaystyle x=\pm 1 \) (che porge \( \displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \) ).
To sum up, i punti \( \displaystyle (\pm \sqrt{2}, 0) \) e \( \displaystyle (0,\pm \sqrt{2}) \) sono di minimo assoluto su \( \displaystyle S \) giacché \( \displaystyle f(\pm \sqrt{2}, 0) = f(0,\pm \sqrt{2}) = \sqrt{2} \) ; d'altra parte, i punti \( \displaystyle \left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \) e \( \displaystyle \left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \) sono di massimo assoluto su \( \displaystyle S \) , giacché \( \displaystyle f\left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)=f\left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2.5} > \sqrt{2} \) .
Al di là dei conti, l'idea e lo svolgimento vi paiono corretti? Cerco conferme, non so perché ma mi pare troppo semplice e temo di aver sbagliato qualcosa.
Grazie in anticipo.
