vettori isotropi

Messaggioda emaz92 » 14/11/2011, 20:11

"Si consideri il prodotto interno su $R^3$ così definito:$phi((x,y,z);(x',y',z'))= x(x)'-xy'-xz'-yx'+2yy'+yz'-zx'+zy'-zz'$, verificare che è privo di vettori isotropi".
Noto che ottenendo la matrice di Gram $((1,-1,-1),(-1,2,1),(-1,1,-1))$ i minori principali sono non singolari, infatti:$det(1)=1, det((1,-1),(-1,2))=1, det((1,-1,-1),(0,1,0),(0,0,-2))=-2$ quindi questo basterebbe per la tesi.....ma poi perchè se considero il vettore $v=(1,1,1)$ ad esempio, $phi(v,v)=0$? cioè, questa cosa non mi torna
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Re: vettori isotropi

Messaggioda menale » 14/11/2011, 22:23

emaz92 ha scritto:"Si consideri il prodotto interno su $R^3$ così definito:$phi((x,y,z);(x',y',z'))= x(x)'-xy'-xz'-yx'+2yy'+yz'-zx'+zy'-zz'$, verificare che è privo di vettori isotropi".
Noto che ottenendo la matrice di Gram $((1,-1,-1),(-1,2,1),(-1,1,-1))$ i minori principali sono non singolari, infatti:$det(1)=1, det((1,-1),(-1,2))=1, det((1,-1,-1),(0,1,0),(0,0,-2))=-2$ quindi questo basterebbe per la tesi.....ma poi perchè se considero il vettore $v=(1,1,1)$ ad esempio, $phi(v,v)=0$? cioè, questa cosa non mi torna

Perché basterebbe per la tesi?
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Re: vettori isotropi

Messaggioda emaz92 » 14/11/2011, 23:01

da quello che so (poco perchè lo sto studiando da poco) se i determinanti dei minori principali di un prodotto interno sono diversi da zero allora lo stesso prodotto interno è privo di vettori isotropi
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Re: vettori isotropi

Messaggioda emaz92 » 15/11/2011, 20:10

nessuno saprebbe rimuovere questo dubbio?
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Re: vettori isotropi

Messaggioda menale » 15/11/2011, 22:28

Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.
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Re: vettori isotropi

Messaggioda emaz92 » 17/11/2011, 11:02

menale ha scritto:Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.


grazie, a quanto pare c' era un errore nel libro scritto dal mio professore di algebra lineare
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Re: vettori isotropi

Messaggioda menale » 17/11/2011, 20:16

emaz92 ha scritto:
menale ha scritto:Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.


grazie, a quanto pare c' era un errore nel libro scritto dal mio professore di algebra lineare

Devo preoccuparmi? :lol:
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Re: vettori isotropi

Messaggioda Sergio » 18/11/2011, 11:57

emaz92 ha scritto:grazie, a quanto pare c' era un errore nel libro scritto dal mio professore di algebra lineare

Non credo. Forse all'origine del tuo "problema" c'è un'idea sbagliata (un testo poco chiaro? possibile), cioè che perché vi siano vettori isotropi il prodotto interno deve essere degenere. Non è così.
Se un prodotto interno è degenere allora ci sono vettori isotropi, ma possono esservi vettori isotropi anche se il prodotto è non degenere.
Perché non vi siano vettori isotropi il prodotto deve essere definito, positivo o negativo. Per capire perché, basta considerare che se il prodotto è definito positivo hai \(\phi(\mathbf{v},\mathbf{v})>0\) per ogni \(\mathbf{v}\ne\mathbf{0}\); se invece non è così, puoi avere \(\phi(\mathbf{v},\mathbf{v})=\mathbf{w}>0\) ma anche \(\phi(\mathbf{u},\mathbf{u})=-\mathbf{w}\), e puoi combinare i due vettori \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) in modo da avere un vettore isotropo.
Questo si vede meglio con prodotti più semplici. Ad esempio, se \(\phi(\mathbf{v},\mathbf{v})=v_1^2+v_2^2+v_3^2-v_4^2\), la matrice è:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
e si vede subito che non c'è nulla di degenere. Tuttavia, prendendo \(\mathbf{u}=(1,0,0,0)\) e \(\mathbf{v}=(0,0,0,1)\), si ha \(\phi(\mathbf{u})=1\), \(\phi(\mathbf{v})=-1\), \(\phi(\mathbf{u+v})=0\).
Ragionando così si vede anche che se un prodotto è semidefinito gli unici vettori degeneri sono quelli del nucleo (o radicale), in quanto non si trovano due vettori con prodotto di segno opposto da combinare.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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