\[
\frac{n^2 - 2}{n^2 + 2} = 1 - \frac{4}{n^2 + 2}
\]
e dalla monotonia (notissima) delle funzioni elementari sui positivi segue che:
\[
\begin{split}
n< n+1\quad &\Rightarrow \quad n^2 < (n+1)^2\\
&\Rightarrow \quad n^2 + 2 < (n+1)^2 + 2\\
&\Rightarrow \quad \frac{1}{n^2 + 2} > \frac{1}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad \frac{4}{n^2 + 2} > \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad - \frac{4}{n^2 + 2} < - \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad 1 - \frac{4}{n^2 + 2} < 1 - \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad a_n < a_{n+1}\; .
\end{split}
\]
In particolare ho usato i seguenti fatti noti:
- $x |-> x^2$ è strettamente crescente in $[0,+oo[$
- $x |-> x + 2$ è strettamente crescente ovunque
- $x |-> 1/x$ è strettamente decrescente in $]0,+oo[$
- $x |-> 4x$ è strettamente crescente ovunque
- $x |-> - x$ è strettamente decrescente ovunque
- $x |-> 1 + x$ è strettamente crescente ovunque.
Inoltre, ho ricordato che, componendo a primo e secondo membro di una disuguaglianza una funzione strettamente crescente [risp. decrescente] il verso non cambia [risp. il verso si inverte]... Questa, in soldoni, è proprio la definizione di monotonia.
