equazione goniometrica, scritture equivalenti

[lasy]

$tan(2x + pi/5)=tan(5x+ pi/3)$

risolvendo l'equazione goniometrica ho ottenuto le soluzioni:
$x = - 2/45 pi - 1/3 k pi$

il testo scrive le soluzioni come:
$x = 43/45 pi + k pi/3$

per dimostrare l'equivalenza delle due scritture, visto che la periodicità è la stessa, prendo $k=-3$ e la prima scrittura riproduce la soluzione $x=43/45 pi$.

c'è un altro modo per dimostrare l'equivalenza delle due scritture?
oppure, come fare per finire i calcoli direttamente con le soluzioni del libro di testo?

[axpgn]

Non mi sembrano equivalenti...

[lasy]

perchè no?

https://www.geogebra.org/material/copy/id/jamzddsy

[sellacollesella]

Posto \(k \in \mathbb{Z}\), dato che: \[
-\frac{2}{45}\pi-\frac{h}{3}\pi=\frac{43}{45}\pi+\frac{k}{3}\pi \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad h = -k-3
\] allora anche \(h \in \mathbb{Z}\) e questo implica che le soluzioni sono equivalenti.

[lasy]

Posto \(k \in \mathbb{Z}\), dato che: \[
-\frac{2}{45}\pi-\frac{h}{3}\pi=\frac{43}{45}\pi+\frac{k}{3}\pi \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad h = -k-3
\] allora anche \(h \in \mathbb{Z}\) e questo implica che le soluzioni sono equivalenti.

ok, grazie

e per ottenere direttamente le soluzioni del testo come dovrei fare?

[sellacollesella]

Per risolvere l'equazione: \[
\tan\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)=\tan\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)
\] il modo più naturale è imporre: \[
\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)=\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)+k\pi
\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad
x=-\frac{2}{45}\pi-\frac{k}{3}\pi
\] ma equivalentemente possiamo imporre: \[
\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)=\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)-(k+3)\pi
\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad
x=\frac{43}{45}\pi+\frac{k}{3}\pi.
\] L'unica differenza è che quest'ultima scrittura non ha segni meno, però ... chi ci obbliga?!

[lasy]

quindi il libro trova le soluzioni nel modo più "naturale" e poi comincia dalla prima positiva, credo faccia così

[axpgn]

@sellacollesella
Fammi capire: per me equivalenti significa che sono equivalenti per OGNI $k$ non per uno in particolare.

[sellacollesella]

Essendo \(k\in\mathbb{Z}\), in entrambi i casi si ottengono tutte le soluzioni dell'equazione, quindi non sono equivalenti? Non so, sinceramente, magari ne faccio un uso improprio del termine, ma mi pareva si capisse, o forse no.

P.S.: poco più di dieci anni fa, stessa equazione, stesso dubbio, ... incredibile!

[lasy]

Essendo \(k\in\mathbb{Z}\), in entrambi i casi si ottengono tutte le soluzioni dell'equazione, quindi non sono equivalenti? Non so, sinceramente, magari ne faccio un uso improprio del termine, ma mi pareva si capisse, o forse no.

P.S.: poco più di dieci anni fa, stessa equazione, stesso dubbio, ... incredibile!

non si capisce perchè il libro cominci da $k=-3$; se è una questione di segno, la prima positiva la si ottiene per $k=-1$ per cui si ha $x = 13/45 pi$