Misurare l'altezza di un edificio

[HowardRoark]

Ho alcuni dubbi su come il mio libro ha determinato l'angolo $alpha$, in modo da potersi ricavare l'altezza $AH$ dell'edificio. Non riesco a capire perché l'angolo dal lato rosso sia lo stesso di quello di lati $PH$ e $PA$ (cioè sono entrambi $alpha$). Vorrei capirlo perché mi piacerebbe poter misurare concretamente un edificio senza doverlo misurare.
Ma poi quel lato rosso dovrebbe rappresentare un filo perpendicolare al terreno?

[ghira]

Pensavo che fosse necessario usare un barometro.

[HowardRoark]

Perché? Se conosci l'angolo $alpha$ che dovrebbe avere come lati il segmento, perpendicolare al tuo corpo, che parte dai tuoi piedi fino all'edificio di cui vuoi misurare l'altezza (sarebbe $PH$ in figura), e il segmento che congiunge i tuoi piedi con la cima dell'edificio, misurare l'altezza dell'edificio è facilissimo. Poi sarà sicuramente un calcolo approssimativo, in base a quanto sei bravo a calcolare con precisione $alpha$.
Un'altra cosa che non capisco della spiegazione del libro è che prima c'è scritto che il punto $P$ è al livello del suolo, e poi che il nostro occhio è in $P$. Ma se il nostro occhio è in $P$, l'angolo $alpha$ che calcoliamo è impreciso, perché l'altezza dell'edificio non parte dall'altezza del nostro occhio, ma dal terreno.

[ghira]

C'è una barzelletta su come misurare l'altezza di un edificio con un barometro.

[HowardRoark]

Infatti non avevo capito cosa c'entrasse il barometro, ahah

[sellacollesella]

Vedi se così è più chiaro:


In rosso il filo a piombo, perpendicolare con il terreno, che si adagia sul goniometro ad un angolo \(\beta>90°\).

In blu la linea immaginaria perpendicolare con il tubicino che, per costruzione del goniometro, passa per \(90°\).

Pertanto, \(\alpha=\beta-90°\) e quindi \(\overline{AH}=\overline{PH}\tan\alpha=\overline{HK}+\overline{OK}\tan\alpha\).

[HowardRoark]

Per ipotesi, l'angolo della visuale dell'omino è $alpha$, e poiché angoli corrispondenti di due rette parallele tagliate dalla trasversale $PA$, anche $\hatP = alpha$¹. Quindi, per capire che l'angolo avente come lati il filo rosso e il filo blu è $alpha$, applico il teorema dell'angolo esterno di un triangolo, secondo cui $beta = alpha + 90°$. Quindi anche quell'angolo misura $alpha$ e lo posso leggere da lì.
Ho scritto il mio ragionamento intanto per capire se sia corretto (anche se credo di sì), ma anche per sapere se potevo arrivare alla stessa conclusione in modo più facile.

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Note

1. in pratica il mio dubbio se $P$ è il punto in cui si trovano gli occhi o i piedi non aveva senso ↑

[sellacollesella]

Perfetto!