Integrali indefiniti

[mexogenesis]

Salve, dovrei risolvere questi due integrali indefiniti tramite il metodo della scomposizione del trinomio. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

$\int (x^2+x-1)/(4x-x^2) dx$

$\int (10x-16)/(x(x+2)(x-4)) dx$

[@melia]

Nel primo integrale devi per prima cosa fare la divisione di polinomi perché il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore. Puoi fare anche la divisione per decomposizione dei termini:
$(x^2+x-1)/(4x-x^2)= (x^2 -4x+5x-1)/(4x-x^2) = (x^2 -4x)/(4x-x^2) +(5x-1)/(4x-x^2) = -1 + (5x-1)/(4x-x^2) = -1 -(5x-1)/(x^2-4x)$ adesso la seconda parte va scomposta in fratti semplici, cioè frazioni della forma $a/(bx+c)$
$(5x-1)/(x^2-4x)= (5x-1)/(x(x-4)) = A/x+B/(x-4)$ facendo un po' di calcoli si ottiene $(5x-1)/(x^2-4x) = (1/4)/x+(19/4)/(x-4)$
Tornando all'integrale
$\int (x^2+x-1)/(4x-x^2) dx = int (-1) dx -1/4 int 1/x dx - 19/4 int 1/(x-4) dx$ e adesso gli integrali sono tutti immediati.

Per il secondo esercizio puoi fare direttamente la scomposizione in fratti semplici
$(10x-16)/(x(x+2)(x-4)) = A/x+B/(x+2)+C/(x-4)$ trovi A, B e C e risolvi gli integrali immediati che ottieni.

[mexogenesis]

Nel primo integrale devi per prima cosa fare la divisione di polinomi perché il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore. Puoi fare anche la divisione per decomposizione dei termini:
$(x^2+x-1)/(4x-x^2)= (x^2 -4x+5x-1)/(4x-x^2) = (x^2 -4x)/(4x-x^2) +(5x-1)/(4x-x^2) = -1 + (5x-1)/(4x-x^2) = -1 -(5x-1)/(x^2-4x)$ adesso la seconda parte va scomposta in fratti semplici, cioè frazioni della forma $a/(bx+c)$
$(5x-1)/(x^2-4x)= (5x-1)/(x(x-4)) = A/x+B/(x-4)$ facendo un po' di calcoli si ottiene $(5x-1)/(x^2-4x) = (1/4)/x+(19/4)/(x-4)$
Tornando all'integrale
$\int (x^2+x-1)/(4x-x^2) dx = int (-1) dx -1/4 int 1/x dx - 19/4 int 1/(x-4) dx$ e adesso gli integrali sono tutti immediati.

Per il secondo esercizio puoi fare direttamente la scomposizione in fratti semplici
$(10x-16)/(x(x+2)(x-4)) = A/x+B/(x+2)+C/(x-4)$ trovi A, B e C e risolvi gli integrali immediati che ottieni.

Grazie mille! Non sapevo si potesse utilizzare anche il termine C nel secondo caso, ho imparato una nuova cosa