Integrali: volumi dei solidi con sezione triangolo equilatero

[luke1996]

salve
vorrei una delucidazione sulla tipologia dei seguenti esercizi:
Calcola il volume dei solidi che hanno come base le regioni finite di piano delimitate dalle curve di equazioni
assegnate e dall’asse x negli intervalli segnati a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse x quelle indicate:

Per esempio y =-x2+ 6x, [1; 4]; sezioni: quadrati.
Quando la sezione è un quadrato non ho problemi , calcolo l' integrale della funzione al quadrato nell'intervallo assegnato.
Ma se la sezione è un triangolo equilatero? Per esempio $y= sqrt (8/(x+1))$ intervallo [1; 7]. Ho provato a fare $sqrt3/4 * int L^2$ ossia $sqrt3/4 * int (sqrt (8/(x+1)))^2$dx ma non riesce. Sol: $[4 sqrt 3* ln2]$

[@melia]

Secondo me non ti esce solo perché sbagli o dimentichi qualche proprietà dei logaritmi, infatti il procedimento è corretto.
$sqrt3/4 * int_1^7 (sqrt (8/(x+1)))^2 dx=sqrt3/4 *8*[ln(x+1)]_1^7=2sqrt3*(ln8-ln2)=2sqrt3*ln(8/2)= 2sqrt3*ln4=$
$=2sqrt3*ln2^2=2sqrt3*2ln2=4sqrt3*ln2$

[luke1996]

ci casco sempre !!! Grazie!
Altra domanda e se le sezioni sono un esagono o un rettangolo?
$y = e^-x$ , [0; 1]; sezioni: rettangoli con altezza doppia sulla base.
$y = x*sqrt x$ , [1; 4]; sezioni: esagoni regolari

[mazzarri]

ciao Luke96!

Il difficile in questo genere di problemi è "visualizzare" il tutto... una volta che superi questo scoglio e "vedi" il solido non hai problemi a capire come fare a calcolarne il volume

Immagina con un coltello di tagliarlo a fette perpendicolarmente all'asse x... puoi avere fette tutte quadrate (diverse tra loro!!!) o triangolari o rettangolari o quello che vuoi ma sempre diverse tra loro! Riesci a vederlo?

Per esempio per facilitarti nella visualizzazione... se hai un triangolo la base è lunga f(x), perpendicolare all'asse x e giacente nel piano xy mentre l'altezza è perpendicolare all'asse x che giace in 3D lungo l'asse delle z, entrante nel foglio di lavoro. Così anche per le latre figure geometriche

Perchè se hai una sezione quadrata sei sicuro di integrare la f(x) al quadrato?? perchè la area della tua fetta è f(x) (che è il lato) per l'altezza che è sempre f(x)... e integri le fette da 1 a 4!!

Perchè se hai una sezione "triangolo equilatero" integri la f(x) al quadrato che moltiplica $sqrt(3)/4$?? perchè la area della tua fetta è $sqrt(3)/4 f(x)^2$ e integri le fette da 1 a 7. f(x) qui rappresenta la base di una delle tue fette

Adesso per i tuoi due esempi ulteriori... se hai un rettangolo la area della tua fetta è $hf(x)$ dove h è la altezza del rettangolo e questa area la devi integrare tra 0 e 1. Se non vado errato dovresti risolvere

$V=2 int_0^1 e^(-2x) dx$

Invece se la tua fetta è esagonale (esagono regolare ovviamente) la area della tua fetta è $3 sqrt(3)/2 f(x)^2$ e questa area la devi integrare tra 1 e 4

Se non vado errato dovresti risolvere

$V=(3sqrt(3))/2 int_1^4 x^3 dx$

capito?

ciao!!

[luke1996]

si è chiaro adesso, il mio problema è come hai detto tu correttamente riuscire a visualizzare la figura. Grazie , siete sempre gentili e professionali.