Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

quindi non c'è bisogno di usare la definizione per verificare il limite.... basta far un ragionamento del genere in questi casi, giusto? "ometto" il sistema di disequazioni....

[minomic]

Diciamo che in teoria deve funzionare anche la verifica con la definizione.

Solo che in questo caso viene \[
\left|x\sin\frac{1}{x}\right| < \varepsilon
\] che forse non è banale. O forse mi sfugge qualcosa...

Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

[Frasandro]

Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

concordo

[@melia]

e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.

[Frasandro]

e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.

Grazie per le dritte, ci riproverò in seguito....

adesso ho un dubbio su questo: $ 2^x - 8 < epsilon $ dopo qualche passaggio mi risulta $ x < 3 + lg_2 epsilon $, è corretto?

[minomic]

No, devi applicare il logaritmo a tutto il membro di destra, quindi \[
2^x < 8 + \varepsilon
\] \[
x < \log_2 \left(8 + \varepsilon\right)
\]

[Frasandro]

e questa $ log_2 (x/(x+1))<epsilon -1 $ diventa $ log_2 (x/(x+1))< log_2 (2)^(epsilon-1) $ giusto? in tal caso, come devo proseguire?

[minomic]

Sì, sembra tutto ok. Poi elimini il logaritmo e confronti gli argomenti, porti tutto a sinistra e fai il minimo.

Comunque sarebbe meglio se tu ci mostrassi il testo iniziale, cioè il limite che stai cercando di verificare...

[Frasandro]

il testo è questo: $ lim_(x -> 1) log_2(x/(x+1)) =-1 $

Nel frattempo, ho fatto il m.c.m tra gli argomenti e svolto i calcoli... alla fine ho ottenuto

queste soluzioni: $ (2^(-1-epsilon)/(1-2^(-1-epsilon))) < x < (2^(epsilon - 1)/(1-2^(epsilon-1))) $ cioè $ 1^(-) < x < 1^(+) $

[minomic]

Sì, il risultato sembra corretto... Immagino tu abbia fatto entrambe le disequazione e poi le abbia messe "a sistema" per vedere quali parti sono in comune. Facendo i conti al volo, una delle due mi dava risultato $-1 < x < 1^+$ e l'altra $x < -1 vv x > 1^-$, quindi la loro intersezione è proprio $1^-$ $< x < 1^+$, che rappresenta un intorno di $1$. Quindi il limite è verificato.