Equazione logaritmica

[giacarta01]

Io faccio così
Ho tolto il denominatore e mi rimane y^2-y-2>0
Poi faccio la formula della completa e mi risulta $y1> 2 $y2>-1
Ora come procedo?

[andar9896]

Attento è una disequazione, non puoi togliere il denominatore se non con particolari accorgimenti! Partiamo dalla frazione:
$(log^2x-logx-2)/logx$ di cui dobbiamo studiare il segno.
Numeratore: dobbiamo risolvere la disequazione $y^2-y-2>0$ con $y=logx$. Una soluzione l'hai già trovata tu ed è $y_1=-1$, l'altra è $y_2=2$. Ora, quali valori dobbiamo prendere? Quelli esterni ovviamente! Dunque: $y<-1 vv y>2$ ovvero $logx<-1 vv logx>2 rarr x<e^(-1) vv x>e^2$
Denominatore: dobbiamo porre $logx>0$ ovvero $x>1$.
Ora abbiamo queste due condizioni più la terza delle condizioni di esistenza...non ti resta che fare il grafico dei segni e vedere dove la frazione è positiva. Più di così non so come aiutarti

[giacarta01]

A me risulta così però se tu dici che non posso togliere il denominatore si fa complicata [emoji31]

[andar9896]

Non so come, ma ti trovi con i risultati ahaha comunque prima cosa pensavo che i logaritmi fossero in base $e$, ma non cambia molto alla fine; poi nelle condizioni di esistenza va aggiunto $x>0$, ma tu, considerando anche la condizione $logx>0$ hai fatto in modo da poter eliminare il denominatore ultima cosa, dopo aver risolto l'equazione di secondo grado associata alla disequazione, non devi porre entrambe le soluzioni maggiori ma devi risolvere la disequazione $(y-y_1)(y-y_2)>0$ ovvero $(logx+1)(logx-2)>0$

[giacarta01]

Mm...OK quindi:
1) se pongo come condizione log x >0 posso sempre togliere il denominatore?
2) una volta che ho ottenuto (logx+1)(logx-2)>0 cosa faccio?
3) lo so che sembro un deficiente ma fidati nelle altre sono bravo [emoji16]

[andar9896]

In una disequazione è possibile moltiplicare entrambi i membri senza cambiare il verso solo se lo si fa per una quantità sempre positiva. Imponendo che $logx$ sia positivo hai potuto eliminare il denominatore in questo caso, ma in genere è una pratica che non si usa molto perché si terrebbero conto di troppe limitazioni e si rischia di "mangiarsi" qualche soluzione. Comunque, mettiamo che in questo caso si possa fare: dobbiamo ora risolvere $log^2x-logx-2>0$ che possiamo riscrivere come $(logx+1)(logx-2)>0$... ora studiando il segno di entrambi i fattori e prendendo solo il caso in cui il prodotto sia positivo, ti accorgi che le soluzioni sono $logx<-1 vv logx>2$ (i cosiddetti "valori esterni"). Ora da qui ricaviamo che $logx<-1 rarr x<10^(-1) rarr x<1/10$ e $logx>2 rarr x>10^2 rarr x>100$ ora non ci resta che fare il classico grafico dei segni tenendo conto di tre condizioni:
1) $x<1/10 vv x>100$
2) $logx>0 rarr x>1$
3) $x>0 ^^ x!=1$

[@melia]

Moderatore: @melia

Un richiamo a giacarta01 per aver postato delle immagini di alcuni passaggi che potevano essere scritti normalmente con MathML o TeX. Ricordo che:
3.8 E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

Cerca di imparare perché non è difficile e facilita molto il nostro lavoro.

[giacarta01]

Moderatore: @melia

Un richiamo a giacarta01 per aver postato delle immagini di alcuni passaggi che potevano essere scritti normalmente con MathML o TeX. Ricordo che:
3.8 E&#39; fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, l&#39;uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

Cerca di imparare perché non è difficile e facilita molto il nostro lavoro.

OK tranquilla

[giacarta01]

In una disequazione è possibile moltiplicare entrambi i membri senza cambiare il verso solo se lo si fa per una quantità sempre positiva. Imponendo che $logx$ sia positivo hai potuto eliminare il denominatore in questo caso, ma in genere è una pratica che non si usa molto perché si terrebbero conto di troppe limitazioni e si rischia di "mangiarsi" qualche soluzione. Comunque, mettiamo che in questo caso si possa fare: dobbiamo ora risolvere $log^2x-logx-2>0$ che possiamo riscrivere come $(logx+1)(logx-2)>0$... ora studiando il segno di entrambi i fattori e prendendo solo il caso in cui il prodotto sia positivo, ti accorgi che le soluzioni sono $logx<-1 vv logx>2$ (i cosiddetti "valori esterni"). Ora da qui ricaviamo che $logx<-1 rarr x<10^(-1) rarr x<1/10$ e $logx>2 rarr x>10^2 rarr x>100$ ora non ci resta che fare il classico grafico dei segni tenendo conto di tre condizioni:
1) $x<1/10 vv x>100$
2) $logx>0 rarr x>1$
3) $x>0 ^^ x!=1$

Grazie mille, non è che potresti spiegarmi il fatto dei valori esterni, valori interni? Cioè quando e come si usano? E poi se potessi anche spiegarmi quando si dice che un logaritmo impossibile o ha un insieme vuoto, grazie

[andar9896]

Partiamo dalla seconda richiesta: la funzione logaritmo (che si indica $log_a(x)$ è definita solo per $x>0$. Questo nasce dalla sua definizione:
Poiché dato $y=log_a(x)$ vale che $a^y=x$ e siccome l'esponenziale è una funzione sempre positiva allora possiamo concludere che la funzione logaritmo, sua funzione inversa, non sarà definita per valori maggiori di 0.
Per quanto riguarda le disequazioni, cerco di spiegarlo in maniera non troppo teorica:
Data una disequazione di secondo grado completa del tipo $x^2+3x+2<0$ conviene ragionare sulla sua equazione associata $x^2+3x+2=0$. Risolviamola: $Δ=9-8=1$ dunque $x_(1,2)=((-3)+-1)/2$ da cui $x_1=-2$ e $x_2=-1$. Come saprai, possiamo dunque scrivere il polinomio così $(x+1)(x+2)=0$.
Ritorniamo a noi...a questo punto abbiamo $(x+1)(x+2)<0$ che si risolve col grafico dei segni: ti accorgerai che otterremo $-2<x<-1$ ovvero i cosiddetti "valori interni" poiché la disequazione ha verso negativo; se ci fosse stato il verso opposto avremmo preso i valori esterni, ma esterni a cosa?? Beh, se si disegna la parabola $y=x^2+3x+2$ e la si pone maggiore di zero, allora dovremmo prendere i valori a sinistra e a destra degli zeri (esterni), viceversa col verso minore prenderemo i valori interni alla parabola. In generale dunque, dato $ax^2+bx+c>0$ con $Δ>0$ e $a>0$, allora dovremmo prendere i valori esterni poiché il verso è maggiore; viceversa col veso opposto prenderemo quelli interni (se $a$ è negativo basta cambiare il segno e il verso).