x@Nukenin.
Volendo razionalizzare si ha :
$lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)((x-tanx)×( sqrt(1+x^3)+1))/((sqrt (1+x^3)-1)×(sqrt (1+x^3)+1))=lim_(x->0)((x-tanx)×(sqrt(1+x^3)+1))/(1+x^3-1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×lim_(x->0)(sqrt (1+x^3)+1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×2$,
a questo punto avendo ancora la forma indetetminata $0/0$ e potendo applicare il teorema di Hopital avremo $lim_(x->0)2×(x-tanx)/x^3=lim_(x->0)2×(-tan^2(x))/(3x^2)=-2×lim_(x->0)(tan^2 (x))/(3x^2)=(-2/3)×lim_(x->0 )(tanx /x)×lim_(x->0)(tanx/x)=(-2/3)×1×1=-2/3$
Avendo osservato che il limite notevole $lim_(x->0) tanx/x=1$;
Spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!