Calcolo integrale

[Marco1005]

Non sono lo gnomo più adatto a rispondere, però mi sembra che torni.
Anche se l'integrazle dovrebbe avere già la costante $C$.

Si si mi sono dimenticato la costante nell'integrale.
Come ho scritto a ghira dandomi l'esercizio la funzione di costo marginale e chiedendomi di trovare
la funzione di costo totale, quale altro modo se non integrare per trovarla? altri modi sinceramente non me ne vengono in mente.

[ghira]

[
Scusa ghira però il testo dice che il costo totale di 6 lampadine è 200, con la tua somma arriviamo a 172.

Lo so. Magari anche qui bisogna introdurre un costo fisso.

Chiedo di nuovo: come sappiamo se in questo problema bisogna usare un integrale o una somma?

6 è un numero molto basso. A me verrebbe da usare una somma ma non so nulla di economia.

[Marco1005]

Chiedo di nuovo: come sappiamo se in questo problema bisogna usare un integrale o una somma?

Questo non lo so, lo deduco dalla definizione postata all'inizio. Per trovare i costi totali non si utilizza la funzione del costo marginale e quindi l'unico modo è integrarla per trovare la primitiva.
Concordo però che la procedura da te citata non credo sia sbagliata, ha senso che la somma di tutti i costi
marginali di incremento da una unità alla successiva portino, aggiungendo un costo fisso, ad ottenere 150.
Nei successivi esercizi di quella scheda universitaria si parlava di integrali, quindi da li mi è venuto in mente di utilizzare quelli

[DavidGnomo]

...
Chiedo di nuovo: come sappiamo se in questo problema bisogna usare un integrale o una somma?
...

Così a naso, potrebbe essere la linearità della funzione che esprime il costo marginale?

[ghira]

Così a naso, potrebbe essere la linearità della funzione che esprime il costo marginale?

Cosa?

Se compri più pizze, la prima pizza costa 10 euro e ogni pizza successiva costa il doppio della pizza precedente. Quanto costano 10 pizze? 10 + 20 + 40 + ...

[gugo82]

@ghira:

Così a naso, potrebbe essere la linearità della funzione che esprime il costo marginale?

Cosa?

Se compri più pizze, la prima pizza costa 10 euro e ogni pizza successiva costa il doppio della pizza precedente. Quanto costano 10 pizze? 10 + 20 + 40 + ...

Da napoletano, che qualcosa sulla pizza la sa, ti stanno imbrogliando già dalla prima pizza.


@Marco1005: Per capire un po' il ragionamento, potrebbe essere utile sapere da dov'è preso il problema. Cosa stai studiando? Che libro?

[gabriella127]

Buongiorno,
avrei bisogno di una conferma su questo esercizio; il testo recita:
"Il costo marginale di produzione per x scatole di lampadine è dato dalla seguente funzione"

$10+x+x^2$
" il costo di 6 scatole di lampadine è 200 €"
Calcola la funzione di costo totale.

Prendo la definizione di costo marginale "In economia e finanza il costo marginale unitario corrisponde al costo di un'unità aggiuntiva prodotta, cioè alla variazione nei costi totali di produzione che si verifica quando si varia di un'unità la quantità prodotta: è la derivata del costo totale (C) rispetto alla quantità prodotta (q)"

A questo punto se questa funzione è la derivata della funzione di costo totale, trovo la primitiva
e ricavo la funzione di costo totale.

$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3$

sostituendo la quantità 6 all'interno della x dovrei trovare il costo totale.
Provo e mi risulta 150. Il testo però riporta 200.
Allora inserisco $+50$ che sarebbe la costante $+c$ da aggiungere alla primitiva

$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3+50$

Puo' andare come ragionamento?

Direi di lasciare stare la costante di integrazione, messa uguale a $50$, la metti così perché sai già il risultato, ma se non lo sai che fai?

Si tratta di raccapezzarsi nei costi, ed è semplice, bisogna solo ricordare le definizioni.

Il costo marginale, nel continuo, è la derivata della funzione di costo totale.
(Quell'altra definizione"il costo marginale corrisponde al costo di un'unità aggiuntiva prodotta" è quando siamo nel discreto, ma qui ti dà una funzione con $x$ che si presume sia definita in $\mathbb{R^+}$, cioè $x$ è una variabile continua)

Il costo totale $CT(x)$ è fatto da una parte, il costo variabile, che dipende dalla quantità $x$, chiamiamolo $CV(x)$ e una parte, il costo fisso, chiamiamolo $F$, che non dipende dalla quantità.

La funzione di costo totale è quindi costi fissi+costi variabili:

$CT(x)= F+CV(x)$.

(Attenzione! $F$ può essere anche $0$!! Anzi, se siamo nel lungo periodo è $0$, perché nel lungo periodo non ci sono costi fissi, per definizione, la funzione di costo di lungo periodo ha solo costi variabili. Nel breve periodo il costo fisso è invece diverso da $0$. È importante, possono chiederlo all'esame!)

Tornando a noi, l'esercizio ci dà il costo marginale, cioè la derivata di $CT(x)$, che è poi lo stesso della derivata di $CV(x)$, quindi integrando abbiamo¹

$CT(x)=F+10x+1/2 x^2+ 1/3 x^3$.

Ora ci manca il valore di $F$.

Ma sappiamo che $CT(6)=200$. Quindi, sostituendo $6$ a $x$ abbiamo

$CT(6)=F+10\cdot 6+1/2\cdot6^2+ 1/3 \cdot6^3=200$.

da cui ricaviamo $F=50$.

La funzione di costo totale è quindi:

$CT(x)=50+10x+1/2 x^2+ 1/3 x^3$.


(Per inciso, visto che il costo fisso è diverso da $0$, siamo di fronte a una funzione di costo di breve periodo)

Un consiglio: se si deve fare un esame di economia imparare bene cosa vuol dire marginale in economia, perché è centrale e lo si trova dappertutto (produttività marginale, utilità marginale), è importante per studiare la materia e per evitare che il professore scoppi a piangere se non solo sapete .

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Note

1. Se vogliamo essere pedanti, bisogna ricordare che in $CV(x)$ ci sono solo costi variabili, per definizione, non c'è una parte indipendente da $x$, quindi la costante di integrazione $C$ quando vai a fare l'integrale è $0$ ↑

[gabriella127]

p.s. @DavidGnomo il tuo ragionamento era giusto, andava un po' specificato e messo in bella forma con le definizioni di economia.

[DavidGnomo]

..
.....
La funzione di costo totale è quindi costi fissi+costi variabili:

$CT(x)= F+CV(x)$.
.....

Ciao Gabriella, ti torna che il $CV(x) = \sum_{n=1}^{x}CM(n)$?
Quindi si potrebbe scrivere la funzione di costo senza fare l'integrale in questo modo?
$CT(x) = F + \sum_{n=1}^{x}CM(n)$
Perdonatemi se ho scritto una cosa ferale (probabilmente la sommatoria scritta in quel modo...)

[gabriella127]

La sommatoria sta bene, è quel $CM(n)$ che non capisco cos'è