un po di limiti

[minomic]

Applicando una volta Hopital si arriva a
\[
\frac{\frac{1}{4}\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\sin x}{\sin x+x\cos x}
\] ma è ancora una forma indeterminata $0/0$. Allora applico nuovamente l'Hopital e ottengo
\[
\frac{\frac{1}{4}\left[
\left(-\frac{3}{4}\right)\left(\cos x\right)^{-\frac{7}{4}}\left(-\sin x\right)\sin x+\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\cos x
\right]}{\cos x+\cos x+x\left(-\sin x\right)}
\] Passando al limite si ha $(1/4(0+1))/(1+1+0) = 1/8$.

[minomic]

Aggiunta al mio post di prima: dopo la prima passata con Hopital si può anche raccogliere un seno sopra e sotto, semplificare e applicare un semplice limite notevole. Altrimenti, se proprio non vuoi, si riapplica l'Hopital come abbiamo visto.

[ramarro]

ma scusa....stavolta hai usato la regola della derivazione per la moltiplicazione a denominatore, mica quando si usa de l'hopital non si usa niente e si deriva direttamente sul posto?a questo punto cè un errore in quello che ho studiato, dimmi tu che è meglio,per usare de l'hopital prima hai detto che si fa $N'/D'$ e li ok, ma poi credo che ci sia qualos'altro che dovrei sapere a sto punto

[minomic]

No, quello che abbiamo visto prima si usa anche qui e non c'è altro. Derivo SEPARATAMENTE il numeratore e il denominatore. Poi quello che c'è... c'è! Il denominatore contiene un prodotto? Benissimo: vorrà dire che quando deriverò il denominatore utilizzerò la regola di derivazione del prodotto!
In questo caso il denominatore era $sin x+x cos x$, la cui derivata è appunto $cos x+cos x-x sin x$, che infatti ho messo come denominatore della nuova frazione.

[ramarro]

ah, capito, quindo de l'hopital diciamo che 'manda a quel paese' solo la regola di dreviazione della frazione $(f'g-fg')/g^2$, il resto lo tiene buono giusto?Cmq pensando a quello di prima potevo fare:$(1-(cosx)^(1/4))/(x^2(senx)/x)$
$-(cosx)/((8(cosx)^(3/4)+8x(3/4(cosx)^(-1/4))(-senx))$

[minomic]

Sì, comunque attenzione. Nel caso sfortunato in cui il numeratore o il denominatore fossero a loro volta delle frazioni... allora devi utilizzare anche quella regola.

Io veramente intendevo dire che si poteva raccogliere un seno sopra e sotto DOPO la prima applicazione di Hopital.

[ramarro]

capito ora sto provando a rifare il quarto....

[minomic]

Ok, se non riesci dimmelo che ti posto la soluzione.

[ramarro]

$e^((cosx)/1/(logtanx))$
riscrivo la $tanx=senx/(cosx)$ quindi all'esponente abbiamo $(cosx)/(1/(logsenx-logcosx))$ che fa $0/1/+oo$ quindi FI $0/0$
poi non so se va bene...
$(-senx)/(-1(logtanx)^(-2)(1/(tanx))(1/(cosx)^2)$
poi semplifico
$(-senx)/(1/((senx)/(cosx)))1/(1/(cosx)^2)$
poi mi sono perso...mi puoi dire almeno se algebricamnente è giusto?

[minomic]

Dunque: l'inizio è corretto e riscriviamo come
\[
\Large
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}e^{\cos x\cdot \ln\left(\tan x\right)}
\] Concentriamoci ora sull'esponente e riscriviamolo come
\[
\Large
\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\frac{1}{\cos x}}
\] Ora applichiamo Hopital derivando separatamente il numeratore e il denominatore
\[
\Large
\frac{\frac{1}{\tan x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = \frac{1}{\tan x}\frac{1}{\cancel{\cos^2 x}}\frac{\cancel{\cos^2 x}}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x}
\] Passando al limite, questo tende a $0$. Quindi il risultato è $e^0 = 1$.

Ti segnalo inoltre che il limite numero 5 è sbagliato: il risultato corretto è $1$. Il 6 e il 7 hanno il risultato corretto ma non ho controllato gli svolgimenti. Infine il risultato dell'8 dovrebbe venire $1/pi$ mentre tu hai anche un meno: probabilmente un banale errore di segno.