Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

Sì, il risultato sembra corretto... Immagino tu abbia fatto entrambe le disequazione e poi le abbia messe "a sistema" per vedere quali parti sono in comune. Facendo i conti al volo, una delle due mi dava risultato $-1 < x < 1^+$ e l'altra $x < -1 vv x > 1^-$, quindi la loro intersezione è proprio $1^-$ $< x < 1^+$, che rappresenta un intorno di $1$. Quindi il limite è verificato.

esattamente , grazie per il prezioso supporto

[Frasandro]

in questo caso $ lim_(x -> 1/3) [log_3x-log_3(x+2/3)]=-1 $ dopo qualche passaggio ottengo questo:
$ { ( log_3(x/(x+2/3))<epsilon -1 ),(log_3 (x/(x+2/3))> -(1+epsilon)):} $
.
.
.
$ { ( x/(x+2/3)<3^(epsilon-1) ),( x/(x+2/3)> 3^-(1+epsilon) ):} $
facendo il m.c.m, nel passaggio successivo, ho l'impressione che i conti non tornino

fin quì, sbaglio qualcosa?!

[minomic]

Fino a qui mi sembra tutto giusto.

[Frasandro]

facendo il m.c.m per quanto riguarda la prima disequazione viene fuori una roba del genere:
$ (x-[3^((epsilon-1))(x+2/3)])/(x+2/3)<0 $ ,
studio il numeratore $ x> [3^((epsilon-1))2/3]/[1-3^((epsilon-1) $ che dovrebbe essere uno $ 0^- $

e il denominatore $ x> -2/3 $

Per quanto riguarda la seconda, faccio gli stessi passaggi ma alla fine non mi sembra di ottenere un intorno di $ 1/3 $

[minomic]

In effetti non è semplicissimo, però puoi riscrivere la frazione come \[
\frac{2\cdot 3^{-1+\varepsilon}}{3-3^\varepsilon}
\] Adesso ragionando un po' si capisce che $3^(-1+epsilon)$ è $(1/3)^+$ e $3^epsilon$ è $1^+$. Quindi quella frazione è \[
\frac{2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^+}{3-1^+} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^+}{2^-} = \left(\frac{1}{3}\right)^+
\]

[Frasandro]

al volo, la frazione la trasformi moltiplicando N e D per 3?

[minomic]

Sì esatto.

[Frasandro]

Buongiorno, Altro dubbio riguardante la verifica del limite.
$ lim_(x -> 0^+) (2x-sqrt(x) ) = 0^- $; procedo come al solito applicando la definizione
$ |2x-sqrt(x) +0^+|<epsilon $ adesso "scompatto" il modulo $ { ( 2x-sqrt(x) <epsilon - 0^- ),( 2x-sqrt(x)> - epsilon - 0^- ):} $. Considerando il C. E che sarebbe x maggiore/uguale di zero, ho pensato di svolgere la prima disequazione del sistema risolvendo "i 2 sistemi" che si è soliti fare in caso di disequazioni irrazionali. Per la seconda invece, elevo entrambi i membri al quadrato.

È giusto come procedimento? In questo modo la soluzione del primo sistema mi risulta x uguale a zero...

[@melia]

Che ne dici di risolvere le disequazioni con un cambiamento di variabile $y=sqrt x$ da cui $x=y^2$.
Non capisco il senso di aggiungere $0^+$ o $0^-$.

[Frasandro]

non tralascio $ 0^+$ o $0^-$ per seguire la definizione di limite... adesso provo con la sostituzione consigliatami