Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

effettuando la sostituzione consigliatami le due disequazioni dovrebbero essere queste: $ { ( 2y^2-y-epsilon<0 ),( 2y^2-y+epsilon>0 ):} $;

calcolando il \( \triangle \) trovo le seguenti soluzioni: $ { ( (0^-)<x< ~= 0.50 ),( x< (0^+)vv x> ~= 0.49):} $

Queste soluzioni rappresentano un intorno di $0^+$? dal grafico segni mi sembra di sì, ma una vostra conferma mi toglierebbe ogni dubbio

[igiul]

Non so i calcoli che hai fatto, io come soluzione del sistema ed intorno di $0^+$ trovo

$0<x<(1-4epsilon-sqrt(1-8epsilon))/8$

Ricorda che deve essere $y>=0$

[minomic]

Sì, anche io arrivavo allo stesso risultato di igiul. Per comodità avevo anche eliminato il $4$ e l'$8$ che moltiplicano $epsilon$: se non ricordo male si può fare perché $epsilon$ è un numero molto piccolo, quindi \(4\varepsilon \approx \varepsilon\). Correggetemi se sbaglio...

[Frasandro]

Non so i calcoli che hai fatto, io come soluzione del sistema ed intorno di $0^+$ trovo

$0<x<(1-4epsilon-sqrt(1-8epsilon))/8$

Ricorda che deve essere $y>=0$

io ottengo qualcosa di simile risolvendo le disequazioni irrazionali, senza sostituzione. Quali sono tutte le soluzioni che vi ritrovate? magari sbaglio proprio a risolvere il sistema di disequazioni....perchè non ho nessuno zero tra le soluzioni

[igiul]

Risolvendo il sistema in y hai nella prima equazione $(1-sqrt(1+8epsilon))/4<y<(1+sqrt(1+8epsilon))/4$
che dovendo essere $y>=0$ diventa $0<y<(1+sqrt(1+8epsilon))/4$

Per lo stesso motivo nella seconda avrai: $0<y<(1-sqrt(1-8epsilon))/4 ; y>(1+sqrt(1-8epsilon))/4$

Sostituisci e ricavi la x.

Per minomic
Sì puoi anche eliminare i coefficienti di$epsilon$.

[Frasandro]

Risolvendo il sistema in y hai nella prima equazione $(1-sqrt(1+8epsilon))/4<y<(1+sqrt(1+8epsilon))/4$
che dovendo essere $y>=0$ diventa $0<y<(1+sqrt(1+8epsilon))/4$

Per lo stesso motivo nella seconda avrai: $0<y<(1-sqrt(1-8epsilon))/4 ; y>(1+sqrt(1-8epsilon))/4$

Sostituisci e ricavi la x.

Per minomic
Sì puoi anche eliminare i coefficienti di$epsilon$.

all'inizio avevamo imposto $ sqrt(x) = y $ e $ x= y^2 $ . Sostituendo, la $ x $ nella prima disequazione dovrebbe essere
questa: $ 0<x<(2+8epsilon)/16 $ giusto?

[igiul]

La soluzione del sistema in y è:
$0<y<(1-sqrt(1-8epsilon))/ 4$ unione $(1+sqrt(1-8epsilon))/4<y<(1+sqrt(1+8epsilon))/ 4$, l'ultimo intervallo non ci interessa.

Passando alla x tieni presente che

$((1-sqrt(1-8epsilon))/4)^2=(1-2sqrt(1-8epsilon)+1-8epsilon)/16$

che semplificando diventa quello che ti ho scritto prima.

[Frasandro]

finalmente tutto quadra , gracias a todos