In realtà non è sbagliato, è solo superfluo. Infatti, se si pensa $y$ come una funzione di due variabili costante in $x$ (ossia, una funzione $f(x,y)=y$) si ha per ogni $y \ne 0$:
$$\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}=\frac{\frac{\partial (x)}{\partial x} \cdot y - x \cdot \frac{\partial (y)}{\partial x}}{y^2}=\frac{1\cdot y- x \cdot 0}{y^2}=\frac{y}{y^2}=\frac{1}{y}$$
Comunque, per denotare la derivata parziale non scrivere l'apice su $z$ nel momento in cui scrivi il pedice $x$: infatti, scrivendo il pedice si capisce già che è una derivata prima rispetto a $x$ (e le derivate successive si indicano con più pedici, ad esempio $z_{xyx}$ o $z_{yyy}$). La notazione con gli apici si usa esclusivamente per le funzioni di una variabile. Inoltre, tanto per fare il pedante anche sulla terminologia: le derivate si calcolano, non si risolvono
.
Se vuoi procedere nell'altro modo, serve tanta pratica e comprensione del fatto che le derivate parziali sono definite come derivate rispetto a una sola variabile tenendo le altre fissate: quindi, nei prodotti, ogni funzione indipendente dalla variabile rispetto alla quale si deriva può essere portata fuori come una costante. Quindi, basta notare che $\frac{x}{y}=\frac{1}{y} \cdot x$.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.