Devo trovare la retta tangente all'iperbole di equazione $x^2 -x-2y^2-3y=1$ nel suo punto $P$ di ordinata 1 e ascissa positiva.
Il punto $P$ in questione è ovviamente $P(3,1)$. Il problema è abbastanza facile se metto a sistema l'equazione dell'iperbole con quella del fascio di rette passanti per $(3,1)$: per ricavarmi il coefficiente angolare della retta posso mettere come condizione che $x=3$ sia l'unica soluzione del sistema (perché per ipotesi la retta è tangente) e fattorizzando si trova $m$.
$\{(x^2-x-2y-3y=1), (y=m(x-3)+1):}$.
Trovo come soluzione la retta $y=5/7x - 8/7$.
Ora, però, io speravo di applicare la formula di sdoppiamento per trovare l'equazione della retta e, poiché questa vale se il centro dell'iperbole è l'origine degli assi, traslarla dello stesso vettore dell'iperbole del problema.
Quindi, riscrivo l'iperbole in modo da riconoscerne la traslazione: $(x-1/2)^2/(1/8)-(y+3/4)^2/(1/16)=1$. L'iperbole è stata traslata, dall'origine, di un vettore $v(1/2; -3/4)$.
Applicando la formula di sdoppiamento all'iperbole centrata nell'origine: $(x*x_p)/a^2 - (y*y_p)/b^2 = 1$ ottengo $y=3/2x-1/16$ e già qua capisco che c'è qualcosa che non va, perché la traslazione mantiene il coefficiente angolare e quindi anche se traslassi questa retta non otterrei mai $y=5/7x-8/7$.
Qualcuno mi saprebbe spiegare il perché?