Aiuto con diseq logaritmica.

[Quasar3.14]

Ciao a tutti, mi potreste dire dove sbaglio con la seguente disequazione?

$ln^2x - 6ln sqrtx > -2$

La riscrivo come $ln^2x -3lnx +2>0$ a questo punto pongo $lnx= t$ ed ottengo $t^2 -3t+2>0$

La soluzione della disequazione di secondo grado è $ t<1$ e $ t>2$ con $ t=logx$ di conseguenza la prima soluzione non è accettabile in quanto il CE è $ x>0$ e $ logx<1$ equivale a $ x<log1$ quindi $ x<0$

La seconda invece è accettabile perchè $ logx>2$ --> $ x>log2$

Dove sbaglio?

Grazie a tutti per l'aiuto.

[sellacollesella]

$ln^2x - 6ln sqrtx > -2$.
La riscrivo come $ln^2x -3lnx +2>0$ a questo punto pongo $lnx= t$ ed ottengo $t^2 -3t+2>0$.

Ok.

La soluzione della disequazione di secondo grado è $ t<1$ e $ t>2$.

\(t<1\) o \(t>2\).

$logx<1$ equivale a $ x<log1$.

No, pensaci bene.

$ logx>2$ equivale a $ x>log2$.

No, pensaci bene.

[Quasar3.14]

$ln^2x - 6ln sqrtx > -2$.
La riscrivo come $ln^2x -3lnx +2>0$ a questo punto pongo $lnx= t$ ed ottengo $t^2 -3t+2>0$.

Ok.

La soluzione della disequazione di secondo grado è $ t<1$ e $ t>2$.

\(t<1\) o \(t>2\).

$logx<1$ equivale a $ x<log1$.

No, pensaci bene.

$ logx>2$ equivale a $ x>log2$.

No, pensaci bene.

Grazie per la risposta e per il tuo aiuto.

Ok, penso di essermi accorto, grazie a te, dell'errore.

$logx<1$ equivale a $ x<e$ e $ logx>2$ ad $ x>e^2$
Quindi le soluzioni sono, filtrate con la CE, $(0,e) U (e^2, +infty)$, corretto?

[sellacollesella]

$logx<1$ equivale a $ x<e$ ...

Equivale a \(0<x<e\).

... e $ logx>2$ ad $ x>e^2$.

Esatto.

Quindi le soluzioni sono $(0,e) \cup (e^2, +infty)$, corretto?

Corretto.

[Quasar3.14]

Potreste aiutarmi con le seguenti disequazioni per favore?

$ log_2 x^2 + (1/log_2 x) <=3 $

$ CE = x>0$
In questa disequazioni ho iniziato portando il 3 nella parte sinistra della disequazione e facendo il minimo comune multiplo, ottenendo:

$ (log_2 ^2 x^2 +1 -3log_2 x)/ log_2 x <= 0$

Studio separatamente numeratore e denominatore. Quindi $ log_2 ^2 x^2 +1 -3log_2 x>=0$ e $ log_2 x >0$

Dodichè ho posto $ log_2 x = t $ ottenendo una disequazione di secondo grado con i seguenti coefficienti
$ a=2, b=-3 c=+1$ svolgendo i calcoli ottengo $ t_1 = 1$ e $t_2 = (1/2)$
Poichè $t=log_2 x$ ottengo $log_2 x=1$ e $log_2 x = 1/2$ quindi $ x_1 = 2 $ e $ x_2 = sqrt2$

Le soluzioni sono quindi $ x<2$ v $x > sqrt2$

Per quanto concerne il denominatore $ log_2 x > 0 $ è uguale a $ x>1$

Poichè il segno della disequazione è $<=$ le soluzioni sono $(0,1)$ e $[sqrt2, 2]$

Pensate che sia corretto?

Per le altre due disequazioni ho più problemi.

Seconda disequazione:

$log(x + 1/x)<=1$

L'idea era di utilizzare lo stesso procedimento dell'equazione precedente ma penso che sbaglio in quanto mi ritrovo una soluzione non proprio "bella"

$log(x + 1/x)<=1$ --> $x+1/x<=e$ --> $(x^2 -ex +1)/x <= 0$

Avendo il numero $e$ come coefficiente mi trovo la soluzione della disequazione al numeratore uguale a

$ x_1 = (e+ sqrt(e^2-4))/2$ e $ x_2 = (e- sqrt(e^2-4))/2$

Il denominatore è uguale semplicemente a $x>0$ ossia alla condizione di esistenza.
L'equazione deve essere $<=0$ e quindi le soluzioni sono $((e- sqrt(e^2-4))/2, (e+ sqrt(e^2-4))/2)$

Vi torna?

Infine per la terza disequazione navigo abbastanza in alto mare e vorrei, se fosse possibile, un aiuto per iniziare lo svolgimento.

$(x-2)ln(x-1)<=x$

Ho provato a svolgerla ma non ne vengo a capo, potreste darmi una mano?

Grazie come sempre per il vostro aiuto

[sellacollesella]

Eccetto qualche refuso qui e là (ad esempio, all'inizio scrivi che la condizione d'esistenza è \(x>0\), quando invece è \(x>0\,\land x \ne 1\), dato che dobbiamo scongiurare l'annullamento del denominatore), le soluzioni risultano essere corrette. In ogni modo, sintetizzo le varie risoluzioni, magari fanno comunque comodo.

$ log_2 x^2 + (1/log_2 x) <=3 $

Posto \(t=\log_2 x\), si ha: \[
2t+\frac{1}{t}\le 3 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{(2t-1)(t-1)}{t}\le 0 \quad\Leftrightarrow\quad t<0\,\vee\,\frac{1}{2}\le t\le 1.
\] Pertanto, essendo: \[
\log_2 x<0 \quad\Leftrightarrow\quad 0<x<1
\] e ancora: \[
\frac{1}{2}\le\log_2 x\le 1 \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}\le x\le 2
\] l'insieme soluzione è: \[
S=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\,\vee\,\sqrt{2}\le x\le 2\right\}
\] dove ci tengo a sottolineare il connettivo logico \(\vee\) OR (che è diverso da \(\land\) AND).

$ log(x + 1/x)<=1 $

Innanzitutto mettiamo in chiaro quando ha senso quella disequazione: \[
x+\frac{1}{x}>0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2+1}{x}>0 \quad\Leftrightarrow\quad x>0.
\] Quindi, applichiamo la funzione \(\exp(\cdot)\) ambo i membri della disequazione, ottenendo: \[
x+\frac{1}{x}\le e \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x^2-e\,x+1}{x}\le 0
\] che intersecata con la condizione d'esistenza \(x>0\) porta all'insieme soluzione: \[
S=\left\{x\in\mathbb{R}: \frac{e-\sqrt{e^2-4}}{2}\le x\le\frac{e+\sqrt{e^2-4}}{2}\right\}.
\]

$(x-2)ln(x-1)<=x$

Questa disequazione, invece, non può essere risolta in modo esatto come fatto precedentemente, bensì si presta bene ad una risoluzione approssimata. D'altro canto, il tutto dipende dagli strumenti matematici che possiedi, quindi prima di qualsiasi altra considerazione ti invito a rivedere per bene il testo dell'esercizio, magari copialo qui nel forum parola per parola, che in base a quello capiamo come muoverci.

[Quasar3.14]

Ti ringrazio tantissimo per le tue spiegazioni.
Grazie!

Riguardo l'ultimo esercizio $ (x-2)ln(x-1)<=x $ il testo dell'esercizio chiede unicamente di "risolvere l'equazione".
So che andrebbe bene, in caso di disequazioni particolarmente ostiche, risolvere la disequazione anche per via grafica. Solo che mi manca il primo passo da compiere. Ho provato a semplificare ma gira e rigira e mi ritrovo sempre al punto di partenza.

[sellacollesella]

Perfetto, in tal caso assegnata la disequazione: \[
(x-2)\log(x-1)\le x
\] osserverei che \(x=2\) la verifica, in quanto si ottiene \(0 \le 2\) che è senz'altro vero.

Posto \(x\ne 2\), possiamo dividere ambo i membri per \(x-2\) distinguendo due casi: \[
\begin{cases}
1<x<2\\
\log(x-1)\ge\frac{x}{x-2}\\
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
x>2\\
\log(x-1)\le\frac{x}{x-2}\\
\end{cases}
\] che possiamo risolvere graficamente dopo aver tracciato \(y=\log(x-1)\) e \(y=\frac{x}{x-2}\), che essendo
una funzione logaritmica e una funzione omografica dovresti riuscire a tracciarli agevolmente.

[Quasar3.14]

Grazie mille per l'aiuto!