Esercizio geometria analitica pian

[Kevin0]

Buongiorno a tutti! Chiedo aiuto per la risoluzione del seguente problema:

Dal fuoco destro dell'iperbole \(\displaystyle x^2/5 + y^2/4 = 1\) è inviato un raggio di luce con un angolo α ( π < α < 3π/2 , tgα=2) rispetto all'asse x. Raggiunta l'iperbole, il raggio viene riflesso. Determinare l'equazione della retta del raggio riflesso. (Risultato 2x+11y+6=0).

Ho seguito questo procedimento:
1. Ricavato coordinate fuoco destro
2. Ricavato equazione raggio incidente
3. Ricavato punto di intersezione tra raggio incidente e ramo inferiore destro dell'iperbole
4. Ricavato tangente all'iperbole in tale punto di intersezione
5. Ricavato perpendicolare alla tangente in tale punto di intersezione
6. Ricavato angolo tra quest'ultima perpendicolare e raggio incidente (angolo di incidenza)
7. Secondo il criterio di riflessione (angolo di incidenza = angolo di riflessione) ho ricavato coefficiente angolare del raggio riflesso e, conseguentemente, sapendo che passa per il punto di intersezione di cui sopra, ricavato equazione raggio riflesso

Ho provato quattro volte, non mi dà il risultato corretto. Vi chiedo se ci sia qualche errore nel procedimento e, se non ce ne sono, se sia possibile avere la risoluzione del problema per intero.
Grazie in anticipo.

[Quinzio]

Buongiorno a tutti! Chiedo aiuto per la risoluzione del seguente problema:

Dal fuoco destro dell'iperbole \(\displaystyle x^2/5 + y^2/4 = 1\) è inviato un raggio di luce con un angolo α ( π < α < 3π/2 , tgα=2) rispetto all'asse x. Raggiunta l'iperbole, il raggio viene riflesso. Determinare l'equazione della retta del raggio riflesso. (Risultato 2x+11y+6=0).

Ho seguito questo procedimento:
1. Ricavato coordinate fuoco destro

Con $x^2/5 - y^2/4 = 1$
il fuoco destro e' a $(c, 0)$, con $c^2=a^2+b^2$.
Il fuoco e' in $(3,0)$

2. Ricavato equazione raggio incidente

$y = 2x-6$

3. Ricavato punto di intersezione tra raggio incidente e ramo inferiore destro dell'iperbole

${(x^2/5 - y^2/4 = 1),(y = 2x-6):}$

Risulta l'intersezione in $(5/2, -1)$

4. Ricavato tangente all'iperbole in tale punto di intersezione

$x^2/5 - y^2/4 = 1$
$y = \sqrt(4/5 x^2 -4)$
$(dy)/(dx)= (8/5 x)/(\sqrt(4/5 x^2 -4))$
In $(5/2, -1)$ risulta $(dy)/(dx) = -2$

5. Ricavato perpendicolare alla tangente in tale punto di intersezione

Interessa solo la pendenza
$(dy)/(dx) = -2$
$(dx)/(dy) = 1/2$

6. Ricavato angolo tra quest'ultima perpendicolare e raggio incidente (angolo di incidenza)

Questa e' la parte piu' delicata.
Se la perpendicolare ha angolo $\alpha$ e la retta incidente ha angolo $\beta$,
la retta uscente ha angolo $2\alpha - \beta$ e coefficiente angolare $tan (2\alpha - \beta)$.
Dove
$\alpha = \arctan (1/2)$
$\beta = \arctan 2$
$tan alpha = 1/2$
$tan beta = 2$

Calcoliamo
$tan (2\alpha - \beta) = (tan 2\alpha - tan beta)/(1+tan 2 \alpha \tan \beta) = ((2tan alpha)/(1-tan^2 alpha) - tan beta)/(1+(2tan alpha)/(1-tan^2 alpha) \tan \beta) = ((2 1/2)/(1-1/4) - 2)/(1+(2 1/2)/(1-1/4) 2)= (4/3 - 2)/(1+8/3) = -2/11 $

7. Secondo il criterio di riflessione (angolo di incidenza = angolo di riflessione) ho ricavato coefficiente angolare del raggio riflesso e, conseguentemente, sapendo che passa per il punto di intersezione di cui sopra, ricavato equazione raggio riflesso

Raggio uscente
$y = -2/11 (x-5/2) - 1 = -2/11 x - 6/11$

ovvero $11y + 2 x +6 = 0$