Dubbio risoluzione equazione logaritmica

[Marco1005]

Buona sera,
posto questo facile esercizio che però mi lascia perplesso nella risoluzione.
$2log_5(x^2-1)=1$

imposto la c.e
$(x^2-1)^2>0$
$x!=+-1$

riscrivo il tutto come:

$log_5(x^2-1)^2=log_5(5)$

$(x^2-1)^2=5$

$x^4-2x^2+1-5=0$

pongo $t=x^2$

$t^2-2t-4=0$

da cui ottengo
$t_1=1+sqrt(5)$
$t_2=1-sqrt(5)$

pongo $x^2=1+sqrt(5)$
pongo $x^2=1-sqrt(5)$
la seconda è impossibile,
per quanto riguarda la prima devo risolverla con i radicali doppi?
chiedo perchè la ragazza che seguo non ha mai svolto esercizi con radicali doppi.
La seguo tre volte a settimana e in tutti gli esercizi fatti non sono mai comparsi.
Questo era un esercizio della sua verifica e mi è sembrato strano. C'è un modo alternativo
di risolverlo senza i radicali doppi?
Grazie

[@melia]

Marco, accipicchia, il dominio va fatto sul testo originale, non su un testo modificato!
$x^2-1>0$

[Marco1005]

Marco, accipicchia, il dominio va fatto sul testo originale, non su un testo modificato!
$x^2-1>0$

beh @melia però è solo un modo diverso di riscrivere la stessa cosa, io sto solo sfruttando le proprietà dei logaritmi. Se il testo originario fosse stato $log_5(x^2-1)^2$ avrei fatto il dominio su quello.
Non posso snaturare il logaritmo togliendo il quadrato, è co,e se facessi lo studio del segno su $(x-1)^2>0$
e applicassi la radice ambo i membri, non sarebbe corretto fare lo studio solo su $x-1>0$ ma andrebbe considerata la potenza nel suo complesso, a maggior ragione se potenza di indice pari....sono perplesso
Per il resto devo applicare i radicali doppi?

[sellacollesella]

è solo un modo diverso di riscrivere la stessa cosa

Non è la stessa cosa, in quanto:

• l'equazione \(2\log_5(x^2-1)=1\) ha senso per \(x<-1\,\vee\,x>1\);
  
  
• l'equazione \(\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1\) ha senso per \(x \ne -1 \,\land\,x\ne 1\).

Solo dopo aver fissato le condizioni di esistenza si ha il permesso di applicare qualsiasi proprietà.

Per il resto devo applicare i radicali doppi?

No, basta scrivere che l'equazione è verificata per \(x=-\sqrt{1+\sqrt{5}}\;\vee \; x=\sqrt{1+\sqrt{5}}\). Il fatto che quelle bestioline si chiamino radicali doppi e che, in alcune circostanze, si possano ridurre, è del tutto irrilevante.

[Marco1005]

è solo un modo diverso di riscrivere la stessa cosa

Non è la stessa cosa, in quanto:

• l'equazione \(2\log_5(x^2-1)=1\) ha senso per \(x<-1\,\vee\,x>1\);
  
  
• l'equazione \(\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1\) ha senso per \(x \ne -1 \,\land\,x\ne 1\).

Solo dopo aver fissato le condizioni di esistenza si ha il permesso di applicare qualsiasi proprietà.

Si si lo so che sono diversi, ma appunto per questo io avrei analizzato il logaritmo nel suo complesso compreso di potenza. è sbagliato farlo così? quando ho un numero davanti al logaritmo per fare le condizioni di esistenza lo porto sempre a esponente.

[Martino]

Marco, l'uguaglianza $log(a^2)=2 log(a)$ è vera se $a > 0$, ma è ovviamente falsa se $a le 0$.

Se $a < 0$ allora si ha $log(a^2)=2 log(-a)$.

In generale $log(a^2)=2 log(|a|)$ se $a ne 0$.

[Marco1005]

Marco, l'uguaglianza $log(a^2)=2 log(a)$ è vera se $a > 0$, ma è ovviamente falsa se $a le 0$.

Se $a < 0$ allora si ha $log(a^2)=2 log(-a)$.

In generale $log(a^2)=2 log(|a|)$ se $a ne 0$.

Martino perdona l'ignoranza ma appunto perchè sono due cose diverse, qual'è la "ratio" per analizzare uno piuttosto che l'altro? se io svolgessi il quadrato di binomio andrei a controllare dove la biquadratica è maggiore di zero

[sellacollesella]

qual è la "ratio"

Assegnata l'equazione: \[
2\log_5(x^2-1)=1
\] innanzitutto si fissano le condizioni di esistenza: \[
x^2-1>0 \quad\Leftrightarrow\quad x<-1\,\vee\,x>1
\] e solo dopo si possono applicare le proprietà dei logaritmi: \[
\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1 \quad\Leftrightarrow\quad (x^2-1)^2=5 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt{1+\sqrt{5}}
\] che essendo entrambe accettabili sono le due soluzioni dell'equazione.

[Marco1005]

qual è la "ratio"

Assegnata l'equazione: \[
2\log_5(x^2-1)=1
\] innanzitutto si fissano le condizioni di esistenza: \[
x^2-1>0 \quad\Leftrightarrow\quad x<-1\,\vee\,x>1
\] e solo dopo si possono applicare le proprietà dei logaritmi: \[
\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1 \quad\Leftrightarrow\quad (x^2-1)^2=5 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt{1+\sqrt{5}}
\] che essendo entrambe accettabili sono le due soluzioni dell'equazione.

Ok, chiaro.
prendo quello che mi da (visto che sono due cose diverse, in base al testo analizzo quello punto e stop)
Grazie mille