Circonferenza

[sentinel]

Data l equazione $x^2+y^2-2kx-3k=0$, determina per quali valori di K essa rappresenta una circonferenza che individua sulla retta di equazione $x+y+2=0$ un segmento di misura $2sqrt2$

Ho pensato di mettere a sistema l'equazione della circonferenza in K con l equazione della retta. Ottengo l equazione $2x^2+2(2+k)x+4-3k$. Ho calcolato il discriminante e ho pensato di imporlo maggiore di zero in modo da ottenere due soluzioni reali distinte. Il problema è che ottengo una equazione di secondo grado in k, il cui delta è $29$. Credo proprio che stia sbagliando qualcosa.
Grazie per l'aiuto!

[mgrau]

Ottengo l equazione $2x^2+2(2+k)x+4-3x$.

A parte $3x$ dove suppongo intendevi $3k$, direi che non è $(2+k)$ ma $(2-k)$, con che i risultati diventano più gradevoli

[sentinel]

Ho apportato le correzioni suggerite . Adesso il discriminante è 5. Come dovrei continuare? Grazie

[mgrau]

Adesso il discriminante è 5. Come dovrei continuare?

Ma cosa te ne fai del discriminante? Una volta che hai la tua equazione in $x$, trovi le soluzioni, $x_1$ e $x_2$.
Poi dovresti notare che la retta è inclinata a 45°, per cui se due punti della retta distano $2sqrt(2)$, le ascisse dei punti differiscono di $2$. Quindi deve essere $x_1 - x_2 = 2$, da cui ricavi $k$.

[sentinel]

Sei preparato ma non sai spiegare.
Grazie lo stesso

[mgrau]

Sei preparato ma non sai spiegare.

Nel dettaglio, qual è, secondo te, la spiegazione inadeguata? Se intendi dire che non ti ho dato una soluzione per filo e per segno, con tutti i puntini sulle i, è vero, ma lo faccio apposta

[sentinel]

Sono un utente iscritto al forum molto prima di te. Se guardi lo storico dei miei post non chiedo la risoluzione per scopiazzare l esercizio, bensì per capire.
Se avessi avuto le competenze per capire che il discriminante non serve, oppure che la retta é inclinata di 45 gradi, non ci sarebbe stato motivo di chiedere aiuto.
Sarebbe bene distinguere l utente che chiede per imparare da quello che chiede con il solo fine di scopiazzare.

[Quinzio]

Prova cosi': completi i quadrati nella circonferenza e trovi il centro e il raggio

$x^2+y^2-2kx-3k = 0$

$(x-k)^2+y^2= 3k+k^2$

Il centro e' $(k, 0)$
Poi trovi la distanza della retta dal centro.
$$d(P,r)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$
la distanza e' $d=(k+2)/\sqrt2$

Adesso siccome il segmento della retta e' una corda del cerchio, con Pitagora calcoli

$(s/2)^2 + d^2 = R^2$

$2 + (k+2)^2/2 = 3k+k^2$

$k^2 + 2k -8= 0$

Hai 2 soluzioni $k= 2, -4$

[sentinel]

Tutto chiaro. Questo metodo risolutivo comporta meno calcoli e passaggi rispetto a quello in cui si lavora con le coordinate in k dei due punti di intersezione della retta secante.
Grazie tante per il tuo contributo!