Integrali

[mel__]

Buongiorno
Sto studiando gli integrali e mi sono bloccata su questo esercizio.

Immagino che per calcolare il valore di h dovrò utilizzare il calcolo dell'area con l'integrale di f(x) ma non riesco a scrivere la funzione. Essendo polinomiale di quarto grado:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Poiché dal grafico la funzione passa per (0,0) ho posto che $e=0$
Considerando le altre intersezioni:
$(2,0)->16a+8b+4c+2d=0$ e
$(h,0)->h^4a+h^3b+h^2c+hd=0$
Non so proprio come continuare.
Grazie in anticipo per l'aiuto!

[sellacollesella]

La funzione \(f\) deve soddisfare i vincoli: \[
f(0)=0, \quad\quad f'(0)=0, \quad\quad f(h)=0, \quad\quad f(2)=0
\] sistema che ti permette di determinare \(b,c,d,e\) in funzione di \(a \ne 0\) e \(0<h<2\).

Infine, imponendo l'uguaglianza delle due aree (occhio ai segni), determini anche \(h\).

[Noodles]

Guardando la prima parte della soluzione escluderei un procedimento "forza bruta". Piuttosto, trattandosi di un estremante relativo, $x=0$ è necessariamente una radice di ordine $2$. In questo modo:

$f(x)=a*(x-0)^2*(x-h)*(x-2)$

e per determinare $h$:

$\int_{0}^{2}x^2(x-h)(x-2)dx=0$

[mel__]

Grazie ad entrambi.
Sto cercando di seguire entrambi i procedimenti. Il primo mi è chiaro. Non riesco a capire questo:

Piuttosto, trattandosi di un estremante relativo, $ x=0 $ è necessariamente una radice di ordine $ 2 $

e perché rimane la a.

[Noodles]

Non riesco a capire questo ...

Per comprenderlo a dovere è necessario sapere le definizioni di "radice" di un polinomio e di "ordine" di una radice di un polinomio. Viceversa, poichè il discorso diventerebbe un po' troppo lungo, puoi limitarti al procedimento "forza bruta". Vero è che, già in geometria analitica, per quanto riguarda il fascio di parabole passanti per $A(x_A,0)$ e per $B(x_B,0)$:

$y=a(x-x_A)(x-x_B)$

e per quanto riguarda il fascio di parabole aventi il vertice nel punto $V(x_V,0)$:

$y=a(x-x_V)^2$