Disuguaglianza trigonometrica

[chiaraotta]

Se fai riferimento per le lettere alla figura 350px-Sinxoverx.svg.png di wikipedia del link precedente, vedi che il triangolo OAD è contenuto nel settore OAD, che a sua volta è contenuto nel triangolo AOB.
Quindi l'area del triangolo OAD è minore o uguale a quella del settore OAD, che a sua volta è minore o uguale a quella del triangolo AOB. L'uguale si ha solo se x = 0.
Basta calcolare le tre aree e ordinarle.
L'area del triangolo OAD = (1/2) * OA * DC = (1/2) * r * r * sin(x) = (1/2) * r^2 *sin(x).
L'area del settore OAD sta all'area del cerchio di raggio r come x sta a 2 * pi. Quindi l'area del settore OAD = (1/2) * r^2 * x.
L'area del triangolo OAB = (1/2) * OA * AB = (1/2) * r * r * tan(x) = (1/2) * r^2 * tan(x).
Perciò
(1/2) * r^2 *sin(x) <= (1/2) * r^2 * x <= (1/2) * r^2 * tan(x)
e infine, semplificando (1/2) * r^2,
sin(x) <= x <= tan(x).

[newton_1372]

sEMPLICEMENTE geniale...