Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

[al_berto]

Buona sera.
Eccone alcuni per vedere se combinano con le vostre formule:

Lato1= 6 lato2= 1
Lato1= 4 lato2= 3 rapporto 2

Lato1= 24 lato2= 2
Lato1= 18 lato2= 8 rapporto 3

Lato1= 60 lato2= 3
Lato1= 48 lato2= 15 rapporto 4

Lato1= 120 lato2= 4
Lato1= 100 lato2= 24 rapporto 5

Lato1= 210 lato2= 5
Lato1= 180 lato2= 35 rapporto 6

Lato1= 336 lato2= 6
Lato1= 294 lato2= 48 rapporto 7

Lato1= 504 lato2= 7
Lato1= 448 lato2= 63 rapporto 8

Lato1= 720 lato2= 8
Lato1= 648 lato2= 80 rapporto 9

Lato1= 990 lato2= 9
Lato1= 900 lato2= 99 rapporto 10

Ciao a tutti
aldo

[nino_]

Eccone alcuni per vedere se combinano
aldo

Ripeto la formula.

Lati del primo rettangolo (quello con area n volte maggiore):

$ K*(n+1) $ e $ K*n^2 $

Lati del secondo rettangolo:

$ K*(n^2 + n) $ e $ K $

Applicandola per K = 1, 2, 3, .... e n = 2, 3, 4, ... si trovano TUTTI i casi possibili

[Brancaleone]

@Brancaleone:
OK va bene, ma che metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?

Confesso di essere andato per tentativi - anche perché dalla richiesta avevo capito che l'obiettivo fosse trovare una qualunque soluzione, non una formula generale.

[al_berto]

Buongiorno.
@Brancaleone
Sì in effetti era sufficiente trovare due rettangoli.
Però poi mi sono accorto che avrei fatto meglio a scrivere: Che procedimento bisogna seguire per trovare......

@nino
Sì le tue formule funzionano, però non ho capito: se il rapporto è per esempio $99$ quali sono le misure dei lati?

Ciao a tutti
aldo

[nino_]

@nino
Sì le tue formule funzionano, però non ho capito: se il rapporto è per esempio $99$ quali sono le misure dei lati?

Ciao a tutti
aldo

$???$
Basta inserire $n=99$

Esempio poniamo $K=1$

$ 1*(99+1) = 100 $ ; $ 1*99^2 = 9801 $

$ 1*(99^2+99) = 9900 $ ; $ 1 $

Se vuoi trovare gli altri casi con $ n=99 $ , basta moltiplicare i precedenti valori dei lati per $ K = 2 , 3, 4, .. $

[Esperanto]

Semplicemente guardare il foglio al contrario, come se l'insegnante guardasse sul banco stando in piedi di fronte allo studente
X = I + IX ovvero 10 = 1 + 9

[Esperanto]

La risposta si ottiene dalla soluzione del sistema dato dall'equazione dell'ellisse (a+c)^2+(b-c)^2 = (a+b)dove a e b sono i lati e "c" è la semidifferenza. L'ellisse è l'insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti detti fuochi è costante =>> Perimetro costante
"C" è la coordinata del fuoco e vale la differenza tra "a" e "b" diviso due. Da qui vediamo già che il limite di "c" è tra 0 e a+b (del rettangolo iniziale)
e l'iperbole (a+c)*(b-c) = k ab
dove imponiamo K come parametro e risolviamo per "c".
L'espressione generale è quindi data dal sistema stesso con i limiti per "c" indicati sopra e per i K che offrono soluzioni reali.
Calcolato "c" possiamo ricalcolare i lati.
Ovviamente l'ellisse varia tra il cerchio del rettangolo degenerato in quadrato (C = 0) e la riga del rettangolo degenerato in
due lati = semiperimetro e due lati = 0.
Dati "a" e "b", imponiamo K e calcoliamo "c", se esiste, che risolve il sistema e otteniamo i retangoli isoperimetrici al rettangolo dato.
Non sviluppo perchè sarebbe lungo e tedioso.

[al_berto]

Buongiorno.

Eguaglianza.
La risposta ufficiale è : girare il foglio.

Rettangoli isoperimetrici.
OK bravi tutti
Volevo un pò provocare per vedere se uscivano fuori queste formulette:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto che $n$ sia il rapporto delle due aree,
per uno dei rettangoli i lati saranno: $(n^3-n)$ e $(n-1)$
e per l'altro $(n^3-n^2)$ e $(n^2-1)$]

Ma penso siano meglio quelle di nino. Puoi scegliere un lato.
ciao a tutti
aldo

[Esperanto]

Scusate ma mi pare che la soluzione offerta non sia la risposta che io mi aspettavo stessimo cercando.
Io cercavo una risposta del tipo: dato un rettangolo di lati A e B trovare i lati di un rettangolo isoperimetrico con area K volte maggiore.

Nella risposta leggo: per avere due rettangoli con aree in rapporto 4 e stesso perimetro si devono scegliere lati di 60 e 3
e lati 48 e 15, che è diverso dal trovare una soluzione generale.
Avevo interpretato male la domanda ma rilancio la "sfida" a trovare una risposta che parta da lati assegnati e calcoli quelli corrispondenti che danno area multipla (o sottomultipla) intera.
Ciao.

[Esperanto]

Ho trovato una risposta abbastanza facile alla "mia" domanda. Ve la presento qui.
Dati i due lati, calcolo il semiperimetro P.
Un lato vale A e l'altro vale P-A.
Se metto sugli assi di un diagramma ortogonale i lati, ho una retta a 45 gradi che va da x=P, y=0 a x=0, y=P.
Poi disegno l'iperbole che vale A x (P - A).
Questa iperbole deve intersecare la retta. Provate con A = 60, B = 3 --> P = 63.
Per vedere se esiste una coppia di lati che danno area multipla, dobbiamo vedere se esiste una iperbole di valore multiplo intero che interseca la nostra retta. Calcoliamo (A + B)/2 e calcoliamo l'area del quadrato.
Dividiamo questo valore per il valore dell'area del rettangolo iniziale e calcoliamo se e quante volte l'area può essere multipla.

Es: nel post precedente ho detto che con i lati 60 e 3 e 48 e 15 si ha un rapporto aree di 4.
Verifichiamo: 60 x 3 = 180 area attuale
Calcoliamo l'area massima per i punti sulla retta (isoperimetro) (60 + 3 )/2 --> 31.5 ---> area 992.25
992.25 / 180 = 5.125 Quindi potremo trovare 5 coppie di lati che danno aree pari a 2,3,4 e 5 volte quella iniziale.
Spero di essere stato chiaro e soprattutto semplice. Più semplice che il sistema di due equazioni di secondo grado proposto prima.

Vediamo con K = 2 ovvero Area = 2 x 60 x 3 = 360
dovremo risolvere l'equazione A x (P-A) = 360 con P = A + B = 63. A^2 - A x P + 360 = 0 --> A = 56,64458192
e B = 6,355418079 che, fatte salve le tolleranze del calcolo porta a P = 63. Funziona
Adesso provate con 720 ovvero K = 4 e trovate 48 e 15.

Ciao a tutti.
Non sono un matematico ma sono felice di avere scoperto questo sito. Mi risveglia la mente; alla soglia dei 65 anni non fa male