.
Innanzitutto, diciamo controvoglia!!
, disegno un pentagono regolare \(ABCDE\), quindi traccio le diagonali \(AC\) e \(BE\), infine battezzo con \(F\) il punto d'intersezione delle due diagonali. Stancante, riposo un po'...
Ciò fatto, noto che i triangoli \(ABC\) e \(ABE\) sono isosceli di angoli \(108°\) al vertice e \(36°\) alla base.
Ne consegue che anche il triangolo \(ABF\) sia isoscele con i medesimi angoli e quindi:
- i triangoli \(ABC\) e \(ABF\) sono simili e vale la proporzione: \(\overline{AC} : \overline{AB} = \overline{BC} : \overline{AF}\);
- i triangoli \(ABE\) e \(ABF\) sono simili e vale la proporzione: \(\overline{BE} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{BF}\).
Inoltre, noto che gli angoli alla base dei triangoli \(BFC\) e \(AFE\) misurano tutti la bellezza di \(72°\).
Ma allora siamo a cavallo dell'asino, in quanto \(\overline{FC} = \overline{BC} = \overline{AB} = \overline{AE} = \overline{FE}\).
É fatta! Le due proporzioni portano rispettivamente a: \[
\overline{AC} : \overline{FC} = \overline{FC} : \overline{AF}\,,
\quad \quad \quad
\overline{BE} : \overline{FE} = \overline{FE} : \overline{BF}
\] come volevasi dimostrare.