Ciao Giovanni. Per la verità non so chi ha per primo utilizzato i limiti nella definizione di continuità.
Però, quella con i limiti è solo una notazione per sintetizzare la definizione $epsilon$-$delta$ nel caso il punto considerato sia un punto di accumulazione, e non ha una valenza teorica autonoma: non mi sembra così importante.
La definizione $epsilon$-$delta$ è la esplicitazione della notazione con i limiti, e le due definizioni sono la stessa cosa se il punto è di accumulazione.
La differenza è che, con la definizione $epsilon$-$delta$, si possono considerare anche punti non di accumulazione, nei punti isolati una funzione è continua per definizione, così come è continua una funzione definita in un solo punto.
L'avanzamento teorico è nella definizione di punto di accumulazione, non nella notazione con i limiti.
Chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità? Poiché la nozione di punto di accumulazione è stata introdotta da Cantor e Weierstrass, è possibile che loro abbiamo usato la notazione $lim$, boh?
Certo anche Cauchy scriveva $lim$, ad esempio nel Cours d'analyse o nelle Lecons sur le calcul différentiel,
ma di certo non per la nozione di continuità. Cosa che peraltro non avrebbe potuto fare, poiché è da ricordare che Cauchy non ha mai definito la continuità in un punto, ma solo in un intervallo.
Insomma, ripeto, chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità non mi sembra così interessante, ma è solo la mia opinione.