Premessa: ciao, volevo provare a tirare un po' su questa sezione (tempo fa ne avevamo parlato) soprattutto dal punto di vista della storia della matematica, ma dato che non c'è gente che segue corsi di storia della matematica e che poi deve dare l'esame, ritengo che non si possa reggere solamente sulle domande che ci sono, perché sono troppo rare (anche se ultimamente sono un pochino di più).
Quello che allora propongo di fare, a chi ci tiene alla storia della matematica sul forum, è di scrivere ogni tanto qualche post in cui si spiega qualche piccola cosa di storia della matematica (non necessariamente profonda o difficile, anche leggera o addirittura un aneddoto carino) in modo da farlo sapere agli altri, sperando che magari a loro volta vorranno scrivere qualcosa innescando un circolo virtuoso.
Una cosa che volevo aggiungere è che sarebbe meglio esibire delle fonti su quello che si dice, ma non lo ritengo indispensabile, nel senso che se qualcuno vuole scrivere di qualcosa che ha sentito/letto tempo fa non si faccia bloccare dal fatto che non saprebbe fornire delle prove di quello che sta dicendo.
Per non rimanere nell'astratto faccio un esempio (suggerisco di non interrompere la lettura aprendo i link, tranne gli ultimi due, dato che li ho messi più che altro come approfondimento da fare eventualmente dopo aver letto tutto).
Pressoché tutti su questo forum siamo a conoscenza di una dimostrazione del fatto che $sqrt2$ è irrazionale e sappiamo che questa risale all'antichità (immagino quella dimostrazione fosse più o meno una traduzione in termini geometrici di quella che viene fatta al giorno d'oggi), di preciso viene sempre attribuita a Pitagora (o per lo meno alla scuola pitagorica) e poi c'è la storiella che Ippaso di Metaponto lo ha divulgato al di fuori della scuola, che a sua volta lo ha rinnegato/messo a tacere a seconda delle versioni perché questo minava le basi filosofiche della dottrina pitagorica.
Ma non è di questo che voglio parlare, perché una volta metabolizzato che $sqrt2$ è irrazionale viene abbastanza spontaneo chiedersi se anche $sqrt3, sqrt4, sqrt5, ...$ siano irrazionali pure loro. Ovviamente chiunque nota subito che la radice del quadrato di un numero naturale sia banalmente razionale.
Il fatto è che anche gli antichi greci si erano fatti questa domanda e di chi abbia trovato una risposta ce ne parla nientemeno che Platone nel suo dialogo "Teeteto".
Nel Teeteto ci sono tre personaggi che instaurano un dialogo: Socrate, Teodoro di Cirene e Teeteto (per farsi un'idea siamo circa un secolo e mezzo/due dopo le vicende di Ippaso): Teodoro presenta a Socrate il suo giovane e promettente allievo Teeteto e si mettono a parlare (vabbè ora vado al succo perché queste cose potete leggerle anche su Wikipedia).
Insomma ad un certo punto salta fuori che Teodoro ha dimostrato l'irrazionalità delle radici dei numeri da $3$ a $17$, con l'ovvia eccezione di $4$, $9$ e $16$ ($sqrt2$ è stato escluso molto probabilmente perché era già noto).
Ma come ha fatto? Innanzitutto bisognerebbe chiedersi prima come Teodoro intendesse questi numeri, nel senso che per quei tempi un numero $x\inRR_+$ (permettetemi di esprimermi in questo modo per facilitare la comprensione, ma è chiaro che loro non si esprimevano in questi termini) era considerato "esistente" se dato un segmento (che viene considerato come unità di misura) si riusciva a costruire con riga e compasso un segmento lungo $x$ volte l'altro.
E già qui ha avuto un'idea interessante: si è accorto che per il teorema di Pitagora dato un segmento se si considera un segmento della stessa lunghezza ortogonale a quello dato tale che questi due segmenti hanno un estremo in comune, il segmento che ha per estremi gli altri due estremi ha lunghezza $sqrt2$ (cioè, questa era la parte già nota prima di lui) e questo procedimento si può ripetere considerando un segmento ortogonale all'ipotenusa che ha con essa un estremo in comune e ha lunghezza come quello originale. Considerando il segmento che ha per estremi i due estremi liberi ha lunghezza $sqrt3$ perché ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti di lunghezza $sqrt2$ e $1$. Si capisce come questo procedimento si possa continuare, ad esempio è spiegato qui (si capisce meglio perché c'è la figura).
Purtroppo non ci è noto quale sia di preciso la tecnica che ha usato nella dimostrazione, ma a questo punto vi sarete già chiesti come mai si ferma proprio a $17$, che è un numero che non ha nessuna particolarità.
Il motivo principale per cui sto scrivendo questo post è che volevo far conoscere ad altre persone proprio la risposta a questa domanda, che a me è sembrata alquanto bizzarra
Ora, non è che sia proprio certo ma l'ipotesi più accreditata è che se si esegue esplicitamente su un foglio la costruzione delle radici prima descritte facendole sempre nello stesso verso, fino a quando si fa $sqrt17$ non si è ancora finito il giro, mentre cercando di disegnare $sqrt18$ ci si trova a dover disegnare sopra al triangolino di partenza (quello che ha come ipotenusa $sqrt2$ per capirci), come si può vedere bene qui e qui. Semplicemente per questo motivo Teodoro si è fermato
Meno male che il suo allievo Teeteto non si fermava così facilmente, infatti è attribuita a lui la dimostrazione completa del fatto che le radici dei naturali che non siano quadrati perfetti sono irrazionali.
Per finire segnalo che Teodoro faceva bene a considerare il suo allievo Teeteto promettente, sia per quanto già detto che anche per i suoi studi sui poliedri regolari. Infatti è attribuita a lui anche la dimostrazione che ci sono esattamente $5$ poliedri regolari (è il primo teorema di classificazione della storia, mica poco! ), lo stesso che circa duemila anni dopo Eulero dimostrerà con altre tecniche introducendo la caratteristica di Eulero(-Poincare).