Regola dei segni. Guardando un pò oltre...

[tmox]

Buongiorno.
Ho letto con interesse varie discussioni presenti sul forum in merito alla regola dei segni, fondamento dell'algebra. Molti utenti hanno chiamato in causa l'argomento alla ricerca di una dimostrazione per tale regola. La risposta è in realtà che la regola dei segni è stata "stabilita" con la volontà di estendere ai numeri interi, positivi e negativi, la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Fin qui potremmo quindi accettare la regola dei segni come una semplice convenzione. Il ragionamento che ho cercato di compiere va invece un pò più in profondità:

si abbia l'equazione:

\(\displaystyle 3x+1=-5 \)

Risolvendola facendo uso della regola dei segni, perveniamo al risultato \(\displaystyle x=-2 \)

Tuttavia nello svolgimento dei conti necessari a ricercare questa soluzione abbiamo applicato la regola dei segni in modo "astratto", senza richiamare mentalmente la proprietà distributiva, e tutte le considerazioni necessarie a validare la regola dei segni. Abbiamo assunto la regola dei segni come un presupposto "separato" dal senso che attribuiamo all'equazione. Ma tale relazione potrebbe avere un significato fisico, nel quale un risultato negativo potrebbe riferirsi ad una temperatura sotto lo zero, mentre un risultato positivo indicherebbe una temperatura sopra lo zero. Cose già dette e ridette…
La sfida che mi sono posto è allora quella di svolgere passo per passo l'equazione riscrivendola, di volta in volta, in una modo che possa "convenire" in modo logico sulla regola dei segni, senza darla per assodata.

Quindi, per esempio:

\(\displaystyle 3x+1=-5 \)

\(\displaystyle 3x=-6 \)

\(\displaystyle 1/3*3x=-6*1/3 \)

\(\displaystyle x=-6*1/3\)

ora vorrei validare il fatto che \(\displaystyle -6*1/3 \) sia pari a \(\displaystyle -2 \), senza ricorrere alla regola dei segni in modo asettico. Vorrei cioè manipolare i membri dell'equazione al fine di convincermi che debba associare un risultato positivo all'operazione \(\displaystyle -6*1/3 \).

Lo stesso vorrei fare con equazioni la cui risoluzione porti a fare calcoli del tipo "meno per meno".

Suggerimenti?

[gugo82]

Fin qui non si vede alcuna profondità di ragionamento.
Hai semplicemente risolto un’equazione di primo grado sfruttando le proprietà dell’uguaglianza, cosa nota e che si studia approfonditamente nella prima classe delle superiori.

Se vuoi un ragionamento qualitativo, ti conviene pensare alle proprietà delle disuguaglianze: la soluzione $x$ di $3x+1=-5$ non può essere $>=0$ poiché, se lo fosse, avresti $3x >=0 => 3x +1 >=0 > -5$ il che è assurdo.

[tmox]

Se vuoi un ragionamento qualitativo, ti conviene pensare alle proprietà delle disuguaglianze: la soluzione $x$ di $3x+1=-5$ non può essere $>=0$ poiché, se lo fosse, avresti $3x >=0 => 3x +1 >=0 > -5$ il che è assurdo.

Benone. Mi sembra già qualcosa.
Il concetto che mi preme è che, anche se stabiliamo le regole dei segni sula base della proprietà distributiva, non riesco a focalizzare come questo possa rendere (e di fatto lo fa) lecito l'utilizzo di tale regola nel calcolo generico. Per questo volevo tentare di validare la regola dei segni di volta in volta.

Utilizziamo la regola dei segni nelle circostanze più disparate, ma quasi nessuno riesce a dare una giustificazione di questo.
La regola dei segni può prendere parte al calcolo del discriminante di una parabola (il famoso delta), o perfino nel calcolo del determinante di una matrice. Ma il fatto che tale regola derivi dall'estensione della proprietà distributiva ai numeri relativi non sembra avere a che fare con il suo utilizzo generico.

Ancora un esempio, stavolta con un sistema:

\(\displaystyle -3x=y \)
\(\displaystyle -4y+1=x \)

dopo una prima sostituzione abbiamo, nella seconda equazione:

\(\displaystyle -4(-3x)+1=x \)

Adesso praticamente chiunque applicherebbe la regola del "meno per meno fa più" senza pensarci troppo. Se ci chiediamo da dove derivi, la risposta l'abbiamo già data. Ma se ci chiediamo COSA renda lecito il suo utilizzo in questo caso specifico? La soluzione alla quale vado incontro dipenderà dalla regola (astratta) dei segni. Vorrei invece dare un senso preciso ad ogni operazione compiuta.

Sotto quest'ottica, se ci rifiutiamo di prendere per buona tale regola e alzare le mani sulle sue conseguenze, andrebbe rivisitata l'intera matematica alla quale prendono parte i numeri relativi.
Trovo ironico come, di fatto, ci ritroviamo a studiare matematica di un certo livello, ma un fondamento basilare come la regola dei segni resti quasi una divina regola scolpita nella pietra, il cui funzionamento generalizzato sembra quasi un miracolo.

[gugo82]

In realtà non vedo il problema.
Con un po’ di calma si possono ridefinire le operazioni in modo che l’insieme dei numeri positivi in $ZZ$ sia quello dei numeri con segno $-$ (per capire cosa si intende per numeri positivi, vedi qui).
Fisicamente, ciò vorrà dire che l’acqua bolle a $-100^circ$ e lo zero assoluto è circa a $275^circ$.
Ripeto, non vedo il problema.

[regim]

La regola dei segni deriva dagli assiomi dei numeri reali, il segno meno deriva dall'assunzione dell'esistenza dell'opposto di un numero reale a cui per l'appunto si associa il segno meno \(\displaystyle (-) \), per cui allora esiste un numero reale b tale che \(\displaystyle a+b=0 \) chiamato opposto, e che viene indicato con \(\displaystyle -a \) (Assioma dell'esistenza dell'inverso od opposto di un numero reale) inverso e' usato nel prodotto normalmente, per la somma e' piu' corretto usare l'aggettivo opposto.

Dimostro la regola di cancellazione nella somma

\(\displaystyle x+y=x+z \Rightarrow y=z \)

Qui sotto si applicano altri assiomi, associativita' e commutatitivita' in particolare:
\(\displaystyle
y= (y+x)-x=(x+z)-x=z \Rightarrow y=z \)

Dimostro ora che \(\displaystyle x0=0 \), uso l'assioma della distributivita' e l'esistenza del neutro della somma:

\(\displaystyle x0=x(0+0)=x0+x0=x0+0 \) ;

Dall'ultima uguaglianza per la regola di cancellazione hai:

\(\displaystyle x0 = 0 \).

Dimostriamo ora che:

\(\displaystyle -x =(-1)x \):
\(\displaystyle (-1)x=(-1)x+x-x=(-1)x+1x-x=(-1+1)x-x=0x-x=-x \)

Altra dimostrazione:
\(\displaystyle (-1)(-1)=1 \)
\(\displaystyle
(-1)(-1)=(-1)(-1)+(-1)1+1=(-1)(-1+1)+1=(-1)0+1=1 \)

Dimostro ora la regola dei segni:
\(\displaystyle (-x)(-y)=xy \)

\(\displaystyle -x=(-1)x \)
\(\displaystyle -y=(-1)y \) da cui:

Per la commutativita' del prodotto e per quanto dimostrato sopra:

\(\displaystyle (-x)(-y)=(-1)(-1)xy=1xy=xy \)