Definizioni matematiche

[lisdap]

Tutti i libri universitari di Matematica che ho avuto modo di consultare si limitano a presentare tale disciplina semplicemente enunciando definizioni, teoremi e relative dimostrazioni.
Tra tutti i libri che ho consultato, nessuno si "preoccupa" di spiegare in che modo i matematici sono giunti ad elaborare una certa definizione.
Mi spiego meglio. Non è che un matematico un giorno si è alzato dal letto è ha scritto all'improvviso una definizione; secondo me tutte le definizioni che compaiono sui libri hanno una "storia" dietro, che però non viene mai raccontata. Io credo che essere a conoscenza della storia di una definizione sia fondamentale, in quando tale conoscenza permetterebbe di essere più consapevoli della definizione stessa e della Matematica in generale. Voi che ne pensate? Siete d'accordo sul fatto che ogni definizione ha una storia dietro? E siete d'accordo sul fatto che, se uno studente conoscesse la storia che si porta dietro una definizione, riuscirebbe a vederla in modo più naturale?
Grazie per le risposte!

[GundamRX91]

Sono d'accordo con te e sarebbe molto utile per chi studia senza poter frequentare le lezioni all'università.
Il problema è che un testo del genere sarebbe enorme, anzi forse un solo libro non sarebbe sufficiente...

[ufo.rob]

Come ha già risposto GundamRX91 un libro del genere sarebbe enorme, sarebbe come pretendere di mettere tutta la storia "normale" (insomma quella che parla delle guerre...) in un unico libro ovvio però che ci sono libri di storia della matematica su specifici argomenti e diverse informazioni sul Web. Ad esempio si potrebbe fare un libro d 2000 pagine solo sulla storia di "pi greco" (o esiste già): le costruzioni con riga e compasso legate al cerchio, l'evoluzione del concetto, tutte le idee e le formule per approssimarlo, la nascita dell'idea dei numeri irrazionali, perché hanno pensato che pi greco potesse essere irrazionale, la dimostrazione della sua irrazionalità, tutte le sue applicazioni, come "è entrato" nella formula di Eulero ecc.
Ogni tanto ho trovato qualche accenno alla nascita di un'idea, anche se a pensarci mi sembra una cosa più naturale nei libri di fisica per il fatto che bisogna sviluppare l'idea e verificarla mentre in matematica una volta dimostrato qualcosa quello rimane come "congelato" e in matematica conta più il risultato del metodo (in realtà sembra così... avevo letto una citazione di un matematico che diceva qualcosa simile a quello che dici tu che diceva più o meno che sembra che i risultati in matematica nascano dal nulla e non c'è un posto adeguato per descrivere come si è arrivati a un'idea e in particolare tutti i fallimenti ottenuti prima di arrivare al risultato bello e definitivo).
A volte si prende spunto dai paradossi per raccontare come si sono sviluppate le idee nella matematica, dato che spesso sono stati questi a dare spunto per nuove idee:
http://matematica-old.unibocconi.it/int ... adossi.htm

[lucillina]

Ci sono dei corsi che si chiamano "storia della matematica" che si occupano di trattare alcuni argomenti dal punto di vista storico, per vedere come sono evoluti nel tempo...Almeno nella mia università qualche professore che si occupa di queste cose c'era! Sarebbe impossiible che in ogni corso di analisi, algebra, geometria... si possa fare uno studio del genere!

[gugo82]

@ tutti: In realtà non è affatto vero che "un libro del genere sarebbe enorme".
Ad esempio, i due testi di Giusti, Analisi Matematica I ed Analisi Matematica II, nell'edizione pre-riforma avevano appendici storiche "importanti" e non erano affatto più voluminosi di qualsiasi altro testo coevo di Analisi Matematica.

Inoltre, noto che lo studente universitario (ma in realtà lo studente di ogni ordine e grado) non è affatto obbligato a studiare solo ciò che è presentato sul/i testo/i consigliato/i dal docente; può, anzi, deve sempre approfondire per conto suo gli argomenti che più lo stuzzicano, leggendo ciò che gli pare opportuno...
Ad esempio: se lo studente è interessato la Storia della Matematica, si vada a recuperare libri che ne parlino (di Giusti ho già detto; poi c'è il Boyer, il Kline, etc...) e li legga; se è interessato agli sviluppi dell'Analisi o dell'Algebra, piuttosto che della Geometria Moderna, si vada a prendere un libro di Analisi, o Algebra ovvero Geometria avanzata e lo legga.

D'altra parte, devo ammettere che sono pochini* i docenti che si preoccupano di raccontare (anche per sommi capi) durante le lezioni la storia di una definizione o lo sviluppo storico di un concetto astratto; ciò, secondo me, è una gravissima carenza dovuta in parte alla riduzione dei vecchi corsi annuali a corsi semestrali, in parte ad un'ignoranza un po' diffusa della Storia della Matematica ed in parte al modo sbagliato con cui docenti e studenti "vivono" i corsi semestrali dei nuovi ordinamenti (ancora, a dieci anni dalla riforma).

@ lucillina:

Sarebbe impossibile che in ogni corso di analisi, algebra, geometria... si possa fare uno studio del genere!

Non sarebbe impossibile.
Ci vogliono cinque minuti per affiancare alla dimostrazione della regola di derivazione del prodotto (ad esempio) un bell'aneddoto sul fatto che anche Leibniz, uno dei padri del Calcolo, all'inizio sbagliava a derivare i prodotti scrivendo \((f\ g)^\prime =f^\prime\ g^\prime\) anziché \((f\ g)^\prime =f^\prime\ g+f\ g^\prime\)...
Una cosa del genere stimola e diverte gli studenti (facendo loro capire che 1 la Matematica non nasce così bella e pulita come si presenta nei corsi universitari, e che 2 anche i "grandi" commettono errori banali) ed aiuta loro a fargli entrare in testa la regola del prodotto.


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* Secondo la mia esperienza, ovviamente.

[GundamRX91]

Per quanto mi riguarda non è solo una questione storica (contesto di nascita di una certa definizione, teorema, teoria...), ma anche di conseguenze, cioè dato un certo teorema (come ad esempio il teorema fondamentale dell'Algebra), spesso viene solo enunciato (la dimostrazione poi viene "data" all'Analisi) ma non si indicano le conseguenze "matematiche" di tale teorema, quali cose implica e quali no, gli eventuali collegamenti con altri "fatti", ecc. ecc. Se ci fosse anche questo nei libri, allora sarebbe più semplice capire le nude e crude definizioni/teoremi.

[gugo82]

dato un certo teorema (come ad esempio il teorema fondamentale dell'Algebra), spesso viene solo enunciato (la dimostrazione poi viene "data" all'Analisi) ma non si indicano le conseguenze "matematiche" di tale teorema, quali cose implica e quali no, gli eventuali collegamenti con altri "fatti", ecc. ecc. Se ci fosse anche questo nei libri, allora sarebbe più semplice capire le nude e crude definizioni/teoremi.

Un'affermazione del genere mi lascia quanto meno stupito...
Mi pare strano che sui libri non ci sia detto (esplicitamente od implicitamente*) che dal TFA, più o meno direttamente, discendono gli studi sui campi algebricamente chiusi, sulle estensioni, e la Teoria di Galois.

Affermazioni del genere mi fanno pensare sempre più che questo sia più un problema legato allo spirito acritico con il quale gli studenti leggono i testi che non alla composizione dei testi (i quali, il più delle volte, non fanno proprio "schifo", soprattutto quelli più diffusi)... Insomma, se uno studente non riesce a vedere la big picture nemmeno dopo un paio di letture, un problema di (voglia di) comprensione del testo c'è.


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* Con "implicitamente" intendo tante cose: ad esempio, anche l'ordine dei capitoli e dei paragrafi di un libro, o i richiami tra le nozioni spiegate in diversi paragrafi, molte volte danno un'idea dello sviluppo teorico di una nozione.

[GundamRX91]

Purtroppo alcuni testi/dispense che ho consultato sono solo "enunciativi" (ovviamente non su tutti gli argomenti)...

[gugo82]

Purtroppo alcuni testi/dispense che ho consultato sono solo "enunciativi" (ovviamente non su tutti gli argomenti)...

Appunto... La parola chiave qui è "alcuni".
Se lo studente non è soddisfatto dei testi consigliati (siano essi dispense o libri) è liberissimo di cercare altro materiale che incontri le sue esigenze.

[lisdap]

Grazie a tutti per le risposte. Con piacere, vedo che tutti concordate sulla questione da me sollevata. Ora ho un'altra domanda da farvi, alla quale mi preme avere una risposta (forse per uno studente di matematica tale domanda sarà stupida visto che egli avrà sicuramente seguito corsi di Logica in cui tali faccende sono sicuramente spiegate).
La domanda è: le definizioni matematiche sono un elenco di ordini o imperativi o comandi?
Leggendo le varie definizioni che il libro di Analisi mi presenta, ho l'impressione (ma non ne sono sicuro, per questo ve lo chiedo), che esse sono strutturate come un elenco di comandi. Ad esempio, prendiamo la definizione di differenziabilità (di cui sarebbe interessante conoscerne anche la "storia"). Essa, sul mio libro, è scritta in questo modo:
"Sia $f:A sube RR^n->RR$, con $A$ aperto e sia $x_0 in A$. Diremo che $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste un vettore $a in RR^n$ tale che $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-ah)/|h|=0$".
Ecco, mi sembra evidente che questa definizione, come tutte le altre, abbia una struttura che io chiamo "a comandi", cioè del tipo:
IMPERATIVO 1: Si consideri una funzione $f:A sube RR^n->RR$, con $A$ aperto e un punto $x_0 in A$;
IMPERATIVO 2: Si verifichi se esiste un vettore $a in RR^n$ tale che $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-ah)/|h|=0$;
IMPERATIVO 3: Se si, si dica che $f$ è differenziabile in $x_0$.
Che ne pensate?
Grazie!