componenti o proiezioni?

[Stefan___]

Mi accodo alle domande che sono state fatte... che differenza c'è matematicamente tra componenti e coordinate del vettore? Grazie!

[megas_archon]

Le componenti di un vettore (in una base) non sono altro che le proiezioni di quel vettore lungo quelli che formano la base, cioè, se \(\{e_1,\dots,e_n\}\) è una base di \(V\cong K^n\), allora ogni vettore \(v\in V\) ha componenti \((v_1,\dots, v_n)\) dove \(v_i = \pi_i(v)\), o meglio ancora \(v_i= \pi_i \circ v\), nel primo caso pensando a \(\pi_i : V\to K\) come alla proiezione sul sottospazio di dimensione 1 \(\langle e_i\rangle\cong K\), e nel secondo caso pensando a \(v : K\to V\) come alla applicazione lineare associata a $v$, che manda $1$ in $v$ e \(\alpha\in K\) in \(\alpha.v\).

Assolutamente, definitivamente, conclusivamente, nessuna differenza.


...Cosa non è chiaro di questo messaggio?

[Stefan___]

Credo che per componente si intenda il vettore di base moltiplicato per lo scalare opportuno. Le coordinate, invece, sono i coefficienti per i quali sono moltiplicati i vettori di base. Corretto?

[megas_archon]

No.

[Stefan___]

Va bene, mi sembrava che anche nel testo di algebra lineare che avevi consigliato si usasse il concetto di coordinate come scalari moltiplicatori (per differenziare dalle componenti, che sono i vettori). Mi sarò sbagliato!

[megas_archon]

Le componenti non sono i vettori, le componenti (fissata una base) sono le coordinate (fissata una base).

[Stefan___]

Ah si, certo. Quindi per componenti non si intendono i vettori proiettati nelle direzioni di vettori di base? In Fisica, quando si scompone un vettore, si chiamano componenti proprio i vettori lungo gli assi cartesiani... non capisco come mai..