Teoremi di Euclide e di Pitagora

[gugo82]

Come si sa, esistono vari modi di dimostrare i teoremi di Euclide e quello di Pitagora per via geometrica.
In quasi tutti i testi che ho visto, si segue l’approccio:

• $text(I T. d. Euclide)$
  
• $text(I T. d. Euclide)\ =>\ text(T. d. Pitagora)$
  
• $text(I T. d. Euclide) ^^ text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(II T. d. Euclide)$

ma è molto semplice vedere che si può fare anche lo stesso gioco partendo dal teorema di Pitagora:

• $text(T. d. Pitagora)$
  
• $text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(II T. d. Euclide)$
  
• $text(II T. d. Euclide) ^^ text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(I T. d. Euclide)$.

Quindi mi è venuta l’idea che, in fondo, i tre teoremi siano equivalenti.
Che dite?


P.S.: Credo che la risposta sia sì, dato che si può pure fare:

• $text(II T. d. Euclide)$
  
• $text(II T. d. Euclide)\ =>\ text(I T. d. Euclide)$

e, se tanto mi dà tanto, non dovrebbe essere impossibile trovare che:


$text(II T. d. Euclide) ^^ text(I T. d. Euclide)\ =>\ text(T. d. Pitagora)$.

[gugo82]

Propongo una dimostrazione di $ text(II T. d. Euclide)\ =>\ text(I T. d. Euclide) $, ditemi che ve ne pare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim.: Riferendomi alla figura:

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devo far vedere che \(R \doteq C\) sapendo che, con riferimento alla figura seguente, \(H \doteq R'\):

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Costruisco quattro triangoli rettangoli congruenti al triangolino $T$ attorno a $C$ come mostrato in figura:

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ottenendo un quadrato \(Q \doteq C + 4T\); per costruzione, i lati del quadrato $Q$ sono somma della proiezione del cateto sull'ipotenusa e dell'altezza, quindi per la versione geometrica del quadrato di binomio trovo \(Q \doteq H + 4T + P\):

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da cui (Pitagora, praticamente) \(C \doteq H + P\):

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e, dato che \(H \doteq R'\), trovo \(C \doteq P+R' = R\):

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come volevo.

[otta96]

Il teorema di Pitagora è equivalente all'assioma delle parallele, i 2 teoremi "di Euclide" non mi sembra, ma magari sono solo io che lo ignoro.

[gugo82]

Il teorema di Pitagora è equivalente all'assioma delle parallele […]

Questa non la sapevo.
Dove la leggo?

[sellacollesella]

Dove la leggo?

Forse qui.