Problema su moto uniformemente decelerato e lavoro

[mau21]

Ti posso fare un ultima domanda?
Mi potresti dire come (se si può) dimostrare rigorosamente che una determinata forza è conservativa?
Se io calcolo il lavoro lungo due percorsi diversi e risulta lo stesso (oppure lo calcolo lungo una linea chiusa e viene uguale a $0$) posso dire per certo che tale forza è conservativa oppure potrei essere stato sfortunato e aver preso l'unico caso in cui vale?
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
Grazie ancora!

[Faussone]

Ti posso fare un ultima domanda?
Mi potresti dire come (se si può) dimostrare rigorosamente che una determinata forza è conservativa?
Se io calcolo il lavoro lungo due percorsi diversi e risulta lo stesso (oppure lo calcolo lungo una linea chiusa e viene uguale a $0$) posso dire per certo che tale forza è conservativa oppure potrei essere stato sfortunato e aver preso l'unico caso in cui vale?
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
Grazie ancora!

Per dimostrare in generale che un campo di forze è conservativo (non una forza in sé il che non ha molto senso a rigore) devi verificare che esiste una funzione potenziale il cui gradiente in qualsiasi punto ti dà la forza del campo nel punto, immaginando che nel punto sia presente un "qualcosa" che interagisce col campo di forze. Ovviamente la differenza di questa funzione potenziale tra due punti fornisce il lavoro compiuto dalle forze del campo nello spostare quel qualcosa da un punto all'altro.

[Lampo1089]

In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?

sono condizioni necessarie.
per la conservatività di un campo di forze nel dominio di definizione serve che 1) il lavoro lungo qualsiasi curva suff regolare (diciamo C1) con estremi fissati sia lo stesso. Il che è equivalente alle seguenti:
2) lavoro nullo lungo qualsiasi percorso chiuso
3) esistenza del potenziale tc F = gradV

nel dubbio che abbia omesso qualcosa, puoi controllare wiki

per intenderci, la definizione di conservatività 1) implica 2), 2) implica 3) e 3) implica 1). Ossia sono tutte definizioni equivalenti.

[Faussone]

.... Ossia sono tutte definizioni equivalenti.

Il discorso di esistenza della funzione potenziale e di circuitazione nulla su qualunque percorso chiuso implicano anche che, come condizione necessaria affinché il campo sia conservativo, il campo di forze abbia rotore nullo nello spazio di interesse.

[mau21]

Grazie a entrambi, scusate se non vi ho risposto per giorni.
Guardando sul mio libro di testo ho letto che una forza è conservativa se è centrale, dato che il suo modulo dipende solo dalla distanza dal punto di applicazione.
Si può verificare un questo modo che un determinato campo sia conservativo?
Un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale o esistono altri campi conservativi?
Grazie ancora!

[professorkappa]

Come ha scritto Faussone, la definizione data da Lampo è fuorviante.
Risposta breve a tutte le tue domande:

1. Per verifica se un campo è conservativo senza conoscere la funzione potenziale, il campo deve essere connesso
e deve essere soddisfatta la relazione: $vec(grad)xxvec(F)=0 $.
2. Se (1) è verificata, allora esiste la funzione potenziale V, e risulta che $vecF=gradcdotV$
3. Le forze centrali sono conservative (basta verificare usando la (1), suggerimento, usa il gradiente in coordinate polari). Non è vero che un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale. La forza di gravità non è centrale, ma è conservativa.

Ciao

[Lampo1089]

@professorkappa in che senso la mia definizione è fuorviante?
Da quel che mi risulta, definizione di campo conservativo è avere integrale di linea nullo su tutti i cammini chiusi (+ eventuali ipotesi di regolarità che non ricordo).
Probabilmente intendi che ha una difficile applicazione pratica?
Per quanto riguarda quello che scrivi, cosa intendi con campo connesso in relazione a rotore nullo? Ti riferisci forse al dominio di definizione semplicemente connesso?

[professorkappa]

Ti risulta giusto, infatti la tua risposta non è scorretta, ma la domanda era: "come stabilisco che una forza è conservativa?
La tua risposta, ripeto corretta, porta fuori strada (o, se preferisici, ha poca utilità pratica): non puoi usare (1) e (2), per determinare se il campo è conservativo, perche non puoi verificare che tutti i percorsi chiusi forniscono lavoro nullo, mentre la (3) presuppone che tu conosca il potenziale della forza (e quindi hai GIA stabilito che è conservativa).

La conservativita di una forza è assicurata da

$(partialF_x)/(partialy)=(partialF_y)/(partialx)=0$

$(partialF_x)/(partialz)=(partialF_z)/(partialx)=0$

$(partialF_y)/(partialz)=(partialF_z)/(partialy)=0$

Il che equivale a dire che il rotore è nullo

Questa condizione è necessaria ma non sufficiente, e deve essere affiancata dal fatto che il campo è semplicemente connesso (in soldoni, "non ha buchi"), cosa che si verifica prticamente sempre nei problemi di dinamica e meccanica che si trattano in Fisica 1.

Ora, verificate le condizioni di cui sopra, siamo certi che la forza è conservative e dunque:
1. si può trovare la funzione potenziale V (operazione leggermente macchinosa, ma nemmeno tanto)
2. Saremo certi che il lavoro su ogni circuito chiuso sarà necessariamente nullo
3. Deve valere che$vecF=vec(grad)*V$

[mau21]

Penso di aver capito il concetto.
Grazie a tutti!