Accelerazione Venere rispetto a Terra

[DavideGenova]

Gli assi come li orienteresti?

Avevo in mente proprio la situazione disegnata da navigatore, che ringrazio per aver postato il suo schema, scusandomi di non averlo fatto io, ma non ho lo scanner, il mio telefonino non fa fotografie e non mi sono ancora preso il tempo di imparare ad usare Geogebra o simili...

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Allora è tutto chiaro. Io usavo il sistema eliocentrico, voi quello geocentrico. Il risultato è lo stesso come è giusto che sia

[navigatore]

Ho fatto riflessioni sulla "autostrada" di Faussone, e mi sono reso conto che forse non è semplice ragionare in termini di velocità assoluta, relativa e di trascinamento, e quindi di accelerazioni assolute, relative, di trascinamento e complementare.

Però, essendo io "capatosta" , dico che la soluzione per questa via ci deve pur essere.

Si tratta di individuare bene le quantità in gioco, precisando innanzitutto esattamente il riferimento fisso, che dovrebbe essere quello geocentrico, e il riferimento di trascinamento, che dovrebbe avere l'origine nel Sole e quindi rototraslare rispetto al fisso. Penso di fare qualche altro disegnino….e calcolo. Le velocità le abbiamo già , sono i vettori tracciati.

Mi piacerebbe fare vedere a Davide ciò che chiede, e quindi come sono messi i vettori accelerazione. Quelle che abbiamo calcolato con "l'autostrada" sono le componenti cartesiane nel riferimento fisso geocentrico.

In realtà , a mio parere, questo problema è abbastanza fasullo.
Si tratta di un problema di "tre corpi" , in cui comunque la gravità del Sole è di gran lunga superiore a quelle di T e di V . Quindi si può supporre che T e V non alterino sensibilmente il campo gravitazionale del Sole. MA in ogni caso T e V esercitano attrazione gravitazionale tra loro, oltre che con il Sole . Quindi non è poi tanto semplice, in un caso reale.

[DavideGenova]

Allora è tutto chiaro. Io usavo il sistema eliocentrico, voi quello geocentrico. Il risultato è lo stesso come è giusto che sia

Ho riflettuto sul dubbio che ho espresso qui:

dato che il riferimento in cui è posta la Terra è in moto rispetto al Sole, porre l'origine del riferimento cartesiano al di fuori (nel nostro caso nel riferimento solidale al Sole) di quello in cui sta il corpo (nel nostro caso la Terra) rispetto a cui si vuole calcolare l'accelerazione di un altro corpo (Venere in questo caso), non potrebbe in generale falsare i calcoli?

e sono giunto alla conclusione che i conti tornano come tornerebbero in generale proprio perché l'unica cosa che conta è quel triangolo di vettori, cioè, anche se fissiamo il Sole nell'origine considerando il riferimento $S$ fisso e $T$ mobile, la differenza \(\mathbf{r}_{VS}(t)-\mathbf{r}_{TS}(t)\) ci riconduce ad avere la Terra nell'origine. Infatti, scegliendo per esempio per il caso in cui all'istante $t=0$ si ha la configurazione Terra-Sole-Venere allineati sull'asse $x$, cioè con \(\varphi_1=0\) per l'equazione geocentrica e \(\varphi_1=\pi\) per quella eliocentrica si ottiene esattamente la stessa espressione della curva \(\mathbf{r}_{VT}\) perché \(-\cos(\theta+\pi)=\cos \theta\) e \(-\sin(\theta+\pi)=\sin \theta\).
$\infty$ grazie a tutti!

[navigatore]

Giustissime le riflessioni di Arturo e Davide, quello che conta è il triangolo dei vettori posizione, poi ognuno si sceglie il riferimento che vuole considerare fisso , e quello di trasascinamento.

Ho trovato in rete questa bella animazione , realizzata con Geogebra da un autore che non conosco ( a cui va il mio plauso!), relativa al moto dei pianeti trattato come il moto composto di un epiciclo il cui centro rotola sulla circonferenza deferente.

La curva rossa risultante è la traiettoria " assoluta" , che dipende dal rapporto tra i periodi di rotazione e rivoluzione dei due moti : agendo sullo slider viola si può variare tale rapporto e vedere come varia la traiettoria detta.

In questo disegno, considerato come sistema geocentrico, la Terra dovrebbe essere in O , il Sole in C , il pianeta in P .

È ovvio che la velocità assoluta è tangente in ogni punto alla curva rossa . E che laddove la curvatura è maggiore, cioè il raggio di curvatura è più piccolo, è maggiore la variazione di velocità e quindi l'accelerazione assoluta. È interessante notare come varia la curva al variare del rapporto detto.

[Faussone]

D'accordo con le conclusioni finali di DavideGenova.

In pratica alla fine il metodo più conveniente è trovare la posizione di Venere rispetto ala Terra e poi calcolare l'accelerazione (a parte i dettagli sull'origine del sistema da considerare).

Riguardo alla richiesta di navigatore, in realtà il metodo di passare per i vari termini delle accelerazioni non è complicatissimo, lo riporto.

L'accelerazione assoluta si può scomporre in diversi termini, se si vogliono mettere in luce i vari contributi in riferimento ad un sistema mobile.

$vec a=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$

dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema mobile, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto l'accelerazione di Coriolis.

Ora, considerando un sistema solidale col centro della Terra e volendo scrivere l'accelerazione del centro di Venere rispetto al centro della Terra, consideriamo il centro della Terra come sistema mobile e vediamo i vari termini, dico subito che la $vec omega$ è nulla perché il nostro sistema di riferimento ha gli assi orientati sempre nella stessa direzione rispetto alle stelle fisse, abbiamo detto che infatti vogliamo prescindere dalla rotazione della Terra su se stessa (sono sicuro che questo lascerà un po' perplessi, ma è proprio questo che voglio mettere in luce, perché è un concetto che trae in inganno, o almeno a me ha tratto in inganno quando ho studiato queste cose all'inizio).

$vec(a_r)$ è quello che dobbiamo trovare quindi lasciamolo da parte.
$vec(\alpha) \times vec(r)=0$ ($vec(\alpha)=0$)
$vec(a_o)$ è l'accelerazione centripeta del centro della Terra, origine del sistema di riferimento solidale al centro della Terra (conviene prendere il centro del Sole come sistema fisso esterno), e quindi è pari a $(\frac{2 pi}{T_T})^2 vec r_T$
con $vec r_T$ vettore posizione del centro della Terra rispetto al sistema fisso esterno e $T_T$ periodo rotazione Terra attorno al Sole.
Il resto dei termini sono nulli perché $vec omega$ è nullo.

L'accelerazione assoluta di Venere è pari a $(\frac{2 pi}{T_V})^2 vec r_V$ in analogia con i simboli usati prima.

Quindi per calcolare l'accelerazione relativa alla fine:

$a_r=(\frac{2 pi}{T_V})^2 vec r_V-(\frac{2 pi}{T_T})^2 vec r_T$

cioè differenza tra accelerazione assoluta di Venere e accelerazione dell'origine del sistema di riferimento mobile.
Facendo i conti si ottiene il risultato già visto.

[DavideGenova]

Wow, non sai quanto mi interessasse chiarirmi le idee proprio su come intendere i termini della formula \( \vec a=\vec{a_r}+\vec{\alpha} \times \vec{r}+\vec{a_o} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) +2 \vec{\omega} \times \vec{v_r} \) esplicitando l'accelerazione di trascinamento e quella di Coriolis.
Quindi direi che, utilizzando la notazione del primo post, si debba intendere \(\vec{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{TS}\), cioè la velocità angolare del riferimento $T$ della Terra rispetto a quello $S$ del Sole, che è nulla perché assumiamo che $T$ mantenga gli assi paralleli ai rispettivi assi di $S$ -quindi \(\vec{\alpha}=\big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{TS}}{dt}\big)_S=\mathbf{0}\), \(\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})=\boldsymbol{\omega}_{TS}\times (\boldsymbol{\omega}_{TS}\times\mathbf{r}_{VT})=\mathbf{0}\) e \(2 \vec{\omega} \times \vec{v_r}=2\boldsymbol{\omega}_{TS}\times\mathbf{v}_{VT}=\mathbf{0}\) -, mentre \(\vec{a}_o=\big(\frac{d^2(\mathbf{r}_{VS}-\mathbf{r}_{VT})}{dt^2} \big)_S=\big(\frac{d^2\overrightarrow{O_S O_T}}{dt^2} \big)_S\) è l'accelerazione centripeta dell'origine di $T$ rispetto all'origine di $S$. Spero di non dire scemenze.
\(\aleph_1\) grazie!

[Faussone]

@DavideGenova

[DavideGenova]

Grazie ancora!!!