Nego l'equazione di Poisson scrivendo:
$\Delta \varphi =4 \pi G \rho+f$,
dove $f$ è una funzione sufficientemente regolare delle coordinate.
Da questa ricavo direttamente (usando $\vec{g}=-\nabla \varphi$):
$\vec{\nabla} \cdot \vec{g}=-4 \pi G \rho - f$.
Ora applico il teorema di Gauss e ricavo:
(1) $\Phi_{\partial V}(\vec{g}) = int_{\partial V} \vec{g} \cdot d\vec{S} =-4\pi G M-\mu_V$,
dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$ e $\mu_V=int_V f dV$ è un numero che dipende da $V$.
Questa è la legge di flusso nel presente caso. Si vede bene subito che:
$\Phi_{\partial V}(\vec{g}) =0 \Rightarrow M = - \frac{\mu_V}{4 \pi G}$,
per cui, in presenza di flusso nullo, la massa contenuta nel volume non è necessariamente nulla.
Ora prendiamo una massa puntiforme $M$ ed una sfera di raggio $r$ centrata in essa. Supponiamo (come è giusto fare) che il campo $\vec{g}$ sia a simmetria radiale ed attrattivo e calcoliamo il flusso usando la (1). Si ottiene:
$-4 \pi r^2 g = -4 \pi G M - \mu_V(r)$,
dove $\mu_V(r)$ dipende da $r$, e:
$g=\frac{G M}{r^2} + \frac{\mu_V(r)}{4 \pi r^2}$.
Da questo risultato di deduce, in conclusione, che, negando Poisson, si nega Newton (come è giusto che sia) (s.e.e.o.)
