conservazione energia meccanica

[Sciarra]

Una sfera piena di raggio$ r=10.0 cm $e massa$m=5 kg $parte con velocità del suo c.d.m.
$v0=8.00 m/s$ parallela ad un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito
dinamico $µk=0.200$. Ad una distanza “d” dal punto di lancio della sfera tale che la
sfera ha smesso di strisciare, il piano comincia a inclinarsi verso l’alto seguendo un
arco di circonferenza (scabro anche lui) di raggio $R=5.00 m$, a cui il piano si raccorda
essendogli tangente. Sull’arco di circonferenza la sfera continua a muoversi rotolando
senza strisciare. L’arco di circonferenza ha una lunghezza pari ad un angolo al vertice
$α=π/4$.
Calcolare:
1) la distanza dal punto di lancio alla quale la sfera comincia a rotolare senza
strisciare e la velocità che raggiunge in quel punto;
2) la velocità di rotazione della sfera e la forza esercitata dall’arco di
circonferenza sulla sfera, quando questa raggiunge l’estremo più alto dell’arco
di circonferenza;
3) l’altezza massima raggiunta dalla sfera rispetto alla sua posizione iniziale

Ragionamento:
1)dopo essermi calcolato quale fosse la decelerazione che la forza d' attrito esercita sulla pallina, con equazioni dei momenti (rispetto al c.d.m della sfera), ho successivamente calcolato il tempo necessario affinchè il rotolamento divenisse puro, attraverso le equazioni dei moti (lineare ed angolare).
2)
L' angolo è $pi/4$ dunque dovrà essere che la velocità della sfera nel punto al vertice dell' angolo può essere calcolata con l' equazione dell' energia meccanica: si conserva in quanto il lavoro della forza d' attrito è nullo.
l' altezza raggiunta è pari a $y_f=y_0+R*sen(pi/4)$ . Dunque: $DeltaK_(cin)+DeltaK_(rot)=M/2(v^2_f-v^2_i)+M/5(v^2_f-V^2_i)$ $U_g=mg(y_f-y_i)$ con $v_f=$velocità finale=incognita e $v_i$=velocità iniziale$=5.7 m/s$, $y_i=$altezza iniziale$=0$.
Il risultato darebbe $omega_f=34.8 s^-1$ ma a me non viene. Potreste dirmi dove ho sbagliato ? Grazie

[Sciarra]

il mio ragionamento è sbagliato perchè credo che la forza di gravità varia mentre la sfera sale mentre queste considerazioni vanno bene per un piano inclinato, in cui la pendenza è costante ... ma come posso tenerne conto?

[professorkappa]

(1) No, la forza di gravita non dipende dalla forma del contorno del vincolo. Tu pesi sempre 80kg, sia che sali su un piano inclinato, sia che ti arrampichi lungo una guida circolare.
varia la componente tangente, ma poco importa dal punto di vista dell'energia...

(2) Come si fa a rsiolvere il problema se non ti da la velocita con cui la sfera rotola all'inizio del moto (oppure, in alternativa, se non ti dice quanto e' "d"?)
(3) Non e' detto che il corpo raggiunga il fine corsa del tratto circolare (che e' un quarto di cerchio...).

Sei sicuro che il problema sia posto proprio cosi?

[Sciarra]

hai ragione infatti $intF*dx=int Mg*tg(alpha)*dx=Mgh$... non cambia nulla... cmq la velocità iniziale ce l' ho... è appunto quella che ho trovato; essa coincide con la velocità finale quando la sfera smette di strisciare.
$v_i=5.7 m/s$

[Sciarra]

Nessun aiuto?

[professorkappa]

La formula dovrebbe essere:

$ 1/2I\omega_0^2+1/2mv_0^2+mgr= 1/2I\omega_1^2+1/2mv_1^2+mg[R-(R-r)cos\45] $

da cui

$ 1/2*7/5mr^2omega_0^2+mgr= 1/2*7/5mr^2\omega_1^2+mg[R-(R-r)cos\45] $

E quindi

$ \omega_1^2 = omega_0^2+10/7{g}/{r}-10/7*{g[R-(R-r)cos\45]}/{r^2} $

[Sciarra]

Prof.kappa l' altezza e' maggiore... c' e'un errore(credo) nella sua formula: l'energia potenziale e'diversa, a mio avviso.

[professorkappa]

cosa vuol dire "l'altezza e' maggiore"?
Il corpo si trova alla fine di questa rampa circolare di 45 gradi. Il baricentro passa da un'altezza $r$ a un'altezza $R-(R-r)cos45$.
Spiegati meglio

[Sciarra]

Ha ragione. Mi spiego meglio: si immagini che la sfera parta ad un istante $t_i$ con velocità iniziale $v_i$. Già nell' istante successivo comincerà a salire sull' arco. La lunghezza della curva è pari ad un arco di circonferenza di raggio $R=5m$ moltiplicato per lo spostamento angolare $Lunghezza=R*deltatheta$. Poichè l' angolo è quello che conosciamo allora possiamo sapere il lavoro che fa la forza di gravità (che è negativo in quanto opera nel verso contrario al moto della sfera). Consideriamo però che tutto il lavoro della forza di gravità è quello per portare il c.d.m della sfera ad un' altezza$h_f=(R-r)sen(45)$. L' equazione si scriverà allora: $Mg(r)-Mg((R-r)sen(45))=I/2*((omega_f)^2-(omega_i)^2)+M/2((v_f)^2-(v_i)^2)$.
Come può vedere l' altezza h non è $rcos(45)$ . Credo sia stato un errore di interpretazione del problema...

[professorkappa]

Ecco come la vedo io.