Palliit ha scritto:Rispetto alla questione dimensionale, tutto il problema è posto in modo da ignorare la coerenza in tal senso: lo stesso potenziale è, dimensionalmente parlando, un'accozzaglia di imprecisioni, se $x$ è una coordinata l'espressione $x^4-2x^2+a$ è disomogenea e quindi - a voler essere precisi - priva di significato fisico, ancor peggio il suo logaritmo. L'unico modo per superare l'empasse è di considerare adimensionali tutte le variabili del problema (come spesso fanno i matematici in situazioni del genere). Mi pare.
Penso tu abbia ragione.
Ad ogni modo, visto che ho sollevato il problema, mi divertirò qui a fare qualche ulteriore considerazione che mi viene in mente a proposito della questione dimensionale.
In realtà il problema proposto non è chiarissimo. Io ho dato per scontato che l'energia potenziale fosse comunque il prodotto del potenziale per la massa, ma in effetti il problema non lo dice, e quindi si può anche supporre dell'altro.
Ma supponiamo in prima ipotesi che in effetti si stia parlando di potenziali meccanici, fermo restando che quanto all'energia cinetica si ha sempre \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m{v^2} \)
In caso di potenziale meccanico, per risolvere la questione dimensionale io vedrei di precisare in questo modo:
\( \displaystyle U = V\left( x \right) \cdot 1 \cdot m \)
dove \( \displaystyle V\left( x \right) \) è una funzione adimensionale di x, e "1" è un parametro unitario avente la dimensione di una \( \displaystyle {v^2} \)
In questo modo la questione dimensionale sarebbe risolta, e la soluzione sarebbe proprio quella da me indicata ovvero:
\( \displaystyle a = \frac{e}{{e - 1}} \)
Ma se invece si trattasse di un campo ad esempio elettrostatico, allora dovremmo intendere il potenziale in un altro modo, e l'energia potenziale sarebbe proporzionale non alla massa bensì alla carica ovvero
\( \displaystyle U = V\left( x \right) \cdot 1 \cdot q \)
dove \( \displaystyle V\left( x \right) \) è una funzione adimensionale di x, e "1" è un parametro unitario avente la dimensione di \( \displaystyle \frac{{m{v^2}}}{q} \)
In tal caso la soluzione sarebbe
\( \displaystyle a = \frac{{{e^{\frac{m}{q}}}}}{{{e^{\frac{m}{q}}} - 1}} \)
Insomma la questione dimensionale non è inessenziale semplicemente perché a seconda del tipo di potenziale può dare luogo a soluzioni di a numericamente molto diverse, e comunque tra tutte la soluzione \( \displaystyle a = \frac{{{e^m}}}{{{e^m} - 1}} \) che io contestavo mi pare la meno plausibile.
Sono stato (forse inutilmente) prolisso, lo so, e non so nemmeno quanto convincente.
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.