differenziale

[Usernamer]

Salve a tutti, qualcuno mi spiega il perché della seguente uguaglianza?

$ d(1/2Iw^2) = 1/2I2wdw $ dove I è momento d'inerzia e w velocità angolare

immagino che essendo $ 1/2I $ costante sia $ d(1/2Iw^2) = 1/2Id(w^2) $ ma in base a quale regola matematica si ha che $ dw^2 = 2wdw$ ? cioè so che la derivata di $w^2$ è $2w$ ma qui c'è un differenziale non una derivata, cosa mai incontrata prima neanche in analisi matematica 1

[mathbells]

Ciao, ti rispondo da fisico altrimenti non ne usciamo vivi .

\(\displaystyle \frac{d(\omega^2)}{d\omega}=2\omega \quad \Rightarrow \quad d(\omega ^2)=2\omega d\omega \)

In pratica, cerca di vedere la notazione usata per la derivata come il rapporto tra quantità infinitesime.

[Faussone]

[....] ma qui c'è un differenziale non una derivata, cosa mai incontrata prima neanche in analisi matematica 1

Mai incontrata in Analisi? Strano.

Il differenziale per definizione è la variazione di una funzione approssimata al primo ordine: in pratica quindi si approssima la funzione in un dato punto con la retta tangente in quel punto e si calcola la variazione della funzione come variazione sulla retta approssimante per cui:

$df(x_0)=\frac{df(x_0)}{d x} dx$
dove con $dx$ si rappresenta il differenziale di $x$, che a sua volta vale ovviamente $ 1 * Delta x$ ($Delta x$ è la generica quantità $x-x_0$).

[Usernamer]

cioè è stato accennato ma mai utilizzato se non in un rapporto tra due differenziali, da solo mai...

ah ok quindi la scrittura $ (dw^2)/(dw) $ significa la derivata di $w^2$ ripetto a $w$ dico bene?

[Faussone]

cioè è stato accennato ma mai utilizzato se non in un rapporto tra due differenziali, da solo mai...

Questo è un linguaggio improprio che è a volte utile in fisica, ma è quasi una bestemmia in analisi matematica: non ha senso definire la derivata come rapporto di differenziali, né ha senso fare un rapporto tra differenziali...

ah ok quindi la scrittura $ (dw^2)/(dw) $ significa la derivata di $ w^2 $ ripetto a $ w $ dico bene?

Non ci credo che hai studiato analisi e hai dubbi su questo.. certo!

[Usernamer]

Non ci credo che hai studiato analisi e hai dubbi su questo.. certo!

come ho già scritto i differenziali non li abbiamo usati in analisi, e in fisica li stiamo usando senza aver prima definito quelle "formalità", non ero abituato a vedere al denominatore la stessa variabile presente al numeratore, quindi ho semplicemente voluto assicurarmi di aver capito giusto...
ad ogni modo grazie per le risposte

[Faussone]

Prego. Solo un'altra cosa: è vero che in fisica è comodo a volte trattare i differenziali come quantità finite (benché è formalmente errato dal punto di vista matematico e se non si fa attenzione si possono scrivere cose prive di senso), ma tieni sempre presente che un conto è scrivere $d f(x)$ che si intende si tratta del differenziale di $f$ come definito in precedenza, un conto è scrivere $\frac{d f}{dx}$ che deve essere interpretato non come un rapporto di differenziali, ma come derivata di $f$ rispetto a $x$ (che non è un rapporto di differenziali!): insomma in pratica scrivere $\frac{d f}{dx}$ è come scrivere $f'(x)$.

[Falco5x]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Però i metodi urangutani hanno sempre la loro utilità pratica !
Se non si usassero, i libri di fisica sarebbero grossi e complicati come astrusissime enciclopedie di matematica.

Facciamo finta che non ho detto niente, però, eh!

[Faussone]

Il commento di Falco5x mi ha fatto tornare in mente le tante lunghe (e per me interessanti) discussioni che abbiamo avuto qui sul forum gli anni passati sul modo di usare i differenziali.

@Usernamer
Se/quando avrai tempo dai una letta a questa lunga discussione. Sono sicuro che potrà esserti utile.

[shinobi9]

Quando si approssima una funzione con una retta ad essa tangente nel punto dal quale si considera l'incremento si ha che df=tg (a)dx quindi df/dx=tg (a) (intesi come divisione del differenziale df e di dx) ma la derivata calcolata nel punto è il coefficiente angolare della retta tantente la funzione nel punto..ovvero f'(x)=tg(a)=df/dx(nella seconda uguaglianza si intende ancora divisione tra i differenziali) quindi non ci vedo niente di così sconcertante nel vedere la derivata come rapporto tra i differenziali...graficamente è così e spesso è anche un metodo usato per dimostrare la regola della catena per funzioni composte..anche se in realtà a voler essere precisi sarebbe meglio considerare degli incrementi finiti e mandare a zero con il limite..