professorkappa ha scritto:Prova a risponderti tu.
Premetto che mi sembra comodo, come credo che abbia fatto tu e come farò qui nel seguito, considerare \(\vec{k}\) parallelo al perno/asse del giroscopio con verso orientato dal giunto all cima del perno, indipendentemente dalla rotazione su se stesso del giroscopio, in modo che $L$ può essere negativo.
Ora, direi che tu abbia usato per \(\frac{d\vec{L}}{dt}\) un'espressione analoga alla consueta \(\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}\) per la velocità in funzione di velocità angolare e posizione. Ho dimostrato proprio ieri sera a me stesso la formula \(\vec{\omega}=\|\vec{r}\|^{-2}(\vec{r}\times\vec{v})\).
Analogamente \(\dot\varphi\vec{\tau} =L^{-2}((L\vec{k})\times (mgd\vec{i}) )\), per cui \(\vec{\tau}=\frac{mgd}{\dot\varphi L}\vec{j}\). Ma \(\vec{\tau}\) è un versore, perciò \(\vec{\tau}=\pm\vec{j}\). Dal momento poi che \(\frac{d\vec{L}}{dt}=mgd\vec{i}\) dove $mgd$ è positivo, \(\vec{L}=L\vec{k}\) avanza verso la posizione in cui si trova \(\vec{i}\) (siccome \(\frac{d L_x(t')}{dt}=mgd(t')\) -dove \(t'\) è l'istante in cui stiamo valutando la derivata- è positiva e \(mgd(t)\) continua come funzione di $t$ per le consuete ipotesi che si fanno in fisica, direi, per
quanto spiegatomi gentilmente qui da Vict, che esiste un intorno di \(t'\) in cui $L_x$ è crescente, cioè a \(\vec{L}\) aumenta la componente in direzione di \(\vec{i}(t')\)), cioè si muove in senso antiorario se \(L\) è positivo e orario se \(L\) è negativo. In altre parole, $L$ ha lo stesso segno di \(\dot\varphi\) e quindi \(\vec{\tau}=\vec{j}\).
Mi pare, che, a parte \(\vec{L}\parallel\vec{k} \) non si siano fatte ipotesi restrittive (considerando \(d=d(t)\) variabile con il tempo), quindi, anche se \(\vec{k}\) non è parallelo al suolo, la direzione del momento della forza di gravità \(\vec{i}\), \(\vec{\tau}\) e \(\vec{k}\) sono una terna ortogonale destrorsa in modo del tutto generale (sempre che \(\omega_0\) sia sufficientemente grande perché valga la nostra approssimazione).
professorkappa ha scritto:DavideGenova ha scritto:professorkappa ha scritto:La trattazione e' valida se $ \omega_0 $ e molto maggiore di $ varphi $.
Penso che qui stia la chiave per comprendere perché l'asse di rotazione "segue" la direzione di \(\vec{L}\). Direi che supporre $ \omega_0 $ molto grande rispetto ad altre grandezze da cui dipende il momento angolare sia essenziale per supporre che il momento angolare \(\vec{L}\) sia (approssimativamente considerabile) sempre parallelo all'asse di rotazione, perché so (infatti il mio libro lo dimostra) che un corpo rigido che ha per unico movimento, nel sistema inerziale in cui si trova, la rotazione attorno ad un asse rispetto al quale è simmetrico ha per momento angolare \(\vec{L}=I\vec{\omega}\) dove $I$ è il momento d'inerzia rispetto a tale asse: quindi, se cambia direzione \(\vec{L}\), \(\vec{\omega}\) "lo segue". Giusto?
La velocita' di spin non rimane costante quando il giroscopio e' lasciato libero (si deve conservare l'energia cinetica, quindi a causa della precessione, la velocita' di spin deve diminuire). Se la precessione e' sufficientemente lenta, in confronto alla velocita di spin, allora si puo' assumere la costanza di quest'ultima e in ultima analisi la costanza di L
Comunque è giusta la spiegazione che mi sono dato del perché la direzione dell'asse del giroscopio viene a coincidere con quella del momento angolare? Credo che sia appunto perché, data la grandezza di \(\omega_0\), \(\vec{L}\) è approssimativamente identico al momento angolare che avrebbe il giroscopio se ruotasse attorno al proprio asse, che so (per la simmetria del giroscopio) che sarebbe \(I\vec{\omega}\)... non dico scemenze, vero?
$\aleph_1$ grazie ancora!
"Le dimostrazioni rendono bella la matematica e danno significato alla vita di un matematico" Choe Jaigyoung
) e a professorkappa per la dettagliata spiegazione.