Calcolo del Baricentro di una Semisfera. Dove sbaglio?

[Marvin94]

Devo calcolare il baricentro della semisfera disegnata nell'immagine. Non riesco a capire dove sbaglio. Ecco il procedimento seguito:

(I) Qui ho semplicemente tradotto le componenti del vettore posizione da coordinate cartesiane a coordinate polari
(II) Formula della componente x del vettore posizione del baricentro (trovandosi chiaramente il baricentro lungo l'asse x, mi interessa calcolare solo quella componente)
(III) Questo è l'elemento di volume nelle coordinate polari.
(IV) Ho sostituito (III) nel (II)

Il problema è che il risultato dell'integrale triplo alla fine (calcolabile semplicemente tramite wolfram alpha) sembra risultare zero! Ho pensato l'errore fosse negli estremi di integrazione, ma a me sembrano giusti. Dove sbaglio?

Grazie mille in anticipo.

[RenzoDF]

Hai confuso gli assi: con la semisfera posizionata in quel modo è l'asse x ad essere di simmetria e non l'asse z, di conseguenza ...

[Marvin94]

Appunto... essendo l'asse x quello di simmetria il baricentro dovrebbe trovarsi lungo l'asse x, no?

[RenzoDF]

Appunto... essendo l'asse x quello di simmetria il baricentro dovrebbe trovarsi lungo l'asse x, no?

Certo, ma come hai scelto quei due angoli $\theta$ e $\phi$ ?

[Marvin94]

θ = angolo tra vettore posizione e asse x
ϕ = angolo tra vettore posizione e asse z

[RenzoDF]

... e quindi $ x=$ ...

[Marvin94]

Credo sia uguale al passaggio successivo al (III) .. ho semplicemente fatto una sostituzione (cioè (III) in (II)). Ma quell'integrale non dovrebbe risultare zero.

[Marvin94]

Mi riferisco alla componente x del vettore. Se intendi proprio la coordinata x, essa corrisponde in coordinate polari alla relativa componente in (I)

[Marvin94]

Ci tengo a precisare l'ambigua notazione che ho usato: l'iniziale vettore r (I) è un vettore posizione generico, invece quello a cui successivamente mi riferisco (rx) è quello particolare del baricentro.

[RenzoDF]

Sto cercando di dire che nelle tre componenti del vettore posizione $\vec r$ è la componente lungo x che è pari a

$x=rcos\theta$

e non

$z=rcos\theta$