Ho dell'aria (considero 1 mole) a 293 K e 1 atm. La comprimo fino a una pressione di 40 atm. Il prof ha detto che ci troviamo all'interno di un motore e questa compressione è eseguita molto velocemente da un pistone quindi possiamo considerare la trasformazione ADIABATICA in quanto il calore non fa in tempo a trasmettersi attraverso le pareti. Devo trovare la Temperatura finale. Il $gamma$ dell'aria è $1,4$.
Trovandoci di fronte a una trasformazione adiabatica valgono le leggi di Poisson $ p \cdot V^gamma = $ costante
Io ho operato così:
Mi sono prima trovato il Volume iniziale del gas con l'equazione $ p\cdot V=n\cdot R\cdot T $ e mi viene $ 24,05 $ litri. Poi dall'equazione $ p$i$\cdot V^gamma $i$=p$f$\cdot V^gamma $f ho ricavato il $V$ f che mi viene $ 1,73 $ litri. Avendo ora il volume finale mi sono trovato sempre con l'equazione fondamentale dei gas la Temperatura finale di $841$ K. Ho operato nel modo giusto?
Il prof invece ha agito diversamente:
Indicherç con $p$, $T$ e $V$ la pressione, temperatura e volume iniziale e con $ vec(p) $, $vec(T)$ e $ vec(V) $ la pressione, temperatura e volume finali.
Partendo dall'equazione $ p\cdot V^gamma =vec(p) \cdot vec(V) ^gamma $ ha sostituito, da entrambe le parti dell'equazione, $ V=(nRT)/p $ e poi semplificato $n$ e $R$ perchè costanti presenti in entrambi i membri dell'equazione. Ha ottenuto $ p\cdot (T/p)^gamma =vec(p) \cdot (vec(T)/ vec(p))^gamma $ poi con vari passaggi è arrivato a $ vec(T) = (vec(p)/p )^((gamma -1)/gamma)\cdot T^gamma $ e gli viene $815$K
Secondo me ha sbagliato lui l'ultimo passaggio matematico in cui da $ vec(T)^gamma=p^(1-gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^(1-gamma) $ ha elevato tutto alla $gamma$ e lui ha scritto $ vec(T)=p^((1-gamma)/gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^((1-gamma)/gamma) $ . Secondo me ha dimenticato di semplificare il $gamma$ della $T$. In effetti correggendo quell'errore i risultati coincidono.
Spero di essere stato chiaro nella spiegazione se necessario posto i passaggi matematici del professore uno per uno. Comunque dove è sbagliato il mio procedimento?
Già che ci siete mi spiegate come faccio a mettere il pedice alle lettere all'interno di una formula?
