Conservazione della quantità di moto-esercizio senza soluzione

[Timigi]

Salve, volevo chiedere se era possibile verificare le soluzioni di un esercizio, del quale non ho le soluzioni:

Due slitte di massa M sono ferme l’una dietro l’altra a breve distanza su una superficie ghiacciata priva di attrito. Un gatto di massa m, inizialmente fermo su una slitta, prima balza sull’altra e subito dopo salta indietro sulla prima. Entrambi i salti avvengono alla velocità v relativa alla slitta sulla quale si trova il gatto quando compie il balzo. Si calcolino le velocità finali delle due slitte.


Ottengo per la velocità della prima slitta (quella dalla quale il gatto salta):
vf1=(-2mMv)/(m+M)^2

vf2=(2mv)/(m+M)

Edit:
Ecco il mio ragionamento:
se chiamo vg la velocità che il gatto ha rispetto al terreno e v1 la velocità che la prima slitta aquista al primo salto:

vg= v-v1
ma poichè fra l'istante in cui il gatto e fermo, e quello in cui salta si ha

0=mvg-Mv1;

allora v1=mvg/M e la velocità del gatto rispetto al terreno è vg=(m-M)v/M e questa quantità sarà uguale in ogni salto, visto che dipende solo dalla velocità relativa v che è la stessa in ogni salto.

Per la seconda slitta considero l'istante prima che il gatto atterri e quello subito dopo in cui è appena saltato:

mvg= -mvg +vf2M;

E ricavo la velocità finale
vf2=2mvg/M, e sostituendo vg ho il valore che ho scritto prima.

Analogo ragionamento per la prima slitta, che già si muove a velocità v1, di segno negativo:

-Mv1-mvg=(m+M)vf1;

vf1=-2mvg/(m+M);

e sostituendo ottengo il valore che ho scritto sopra!



Ho scelto come sistema di riferimento uno solidale con il terreno e con il verso positivo nel senso del primo salto del gatto.

Grazie

[Falco5x]

se chiamo vg la velocità che il gatto ha rispetto al terreno e v1 la velocità che la prima slitta aquista al primo salto:

vg= v-v1
ma poichè fra l'istante in cui il gatto e fermo, e quello in cui salta si ha

0=mvg-Mv1;

allora v1=mvg/M e la velocità del gatto rispetto al terreno è vg=(m-M)v/M

Cito solo fin qui perché hai fatto un guazzabuglio tremendo.

Per prima cosa:
impara a scrivere le formule con linguaggio previsto; scritte come le hai scritte tu scoraggi chiunque a leggerti.

Seconda cosa:
prefissato un verso positivo per i vettori in un sistema di riferimento (in questo caso monodimensionale), le quantità indicate con lettera v rappresentano le componenti dei vettori velocità rispetto a tale sistema, dunque sono quantità algebriche, e in quanto tali hanno un segno. Non porta da nessuna parte fare calcoli col modulo delle velocità, anzi porta a errori certi.

Terza cosa:
provo a scrivere col linguaggio standard quanto ho quotato , da cui risulta che anche nel primo semplice calcolo hai sbagliato i passaggi (oltre ad aver sbagliato l'impostazione).

$$\eqalign{
& {v_g} = v - {v_1} \cr
& 0 = m{v_g} - M{v_1} \cr
& \frac{m}
{M}{v_g} = {v_1} \cr
& {v_g} = v - \frac{m}
{M}{v_g} \cr
& {v_g} + \frac{m}
{M}{v_g} = v \cr
& {v_g}\frac{{M + m}}
{M} = v \cr
& {v_g} = v\frac{M}
{{M + m}} \cr} $$

Allora, che vogliamo fare?

Io ti suggerirei di rifare tutto seguendo i consigli.

[Timigi]

Ok, chiedo scusa

Ho sbagliato copiando dal foglio -almeno quel primo passaggio- i risultati finali li ottengo scrivendo la velocità del gatto rispetto al sulo come hai scritto tu:

$ v_g=(Mv)/(M+m) $

Il sistema di riferimento ha segno positivo da destra a sinistra, e il primo salto del gatto è in quella stessa direzione, allora per la conservazione della quantità di moto:

$ 0=mv_g-Mv_1 $

Il gatto va da destra a sinistra, e la slitta da sinistra a destra.

Ora, per la slitta 2, un istante prima che il gatto la tocchi, si ha:

$ mv_g= Mv_2-mv_g $

Ora, forse un errore è questo:
suppongo che la velocità del gatto sia la stessa nei due salti. Nel testo dice che la velocità relativa è la stessa... Ragionando così, posso trovare la nuova velocità del gatto con le leggi dei moti relativi (tenendo conto dei segni nei sistemi di rifermento, sia quello di solidale a terra, che quelli solidali alle slitte, che sono orientati come il primo):

$ -v_(g2)=-v+v_(f2) $

$ mv_g= -mv_(g2)+Mv_(f2) $

Sostituendo e ricavando $ v_(g2) $ e $ v_(f2) $ ottengo:

$ v_(f2)=(2mMv+(m^2)v)/(M+m)^2 $

$ v_(g2)= (vM^2)/(M+m)^2 $

Poi posso ricavare la velocità finale della slitta uno, su cui il gatto risalta da:

$ -mv_(g2) -Mv_1=-(m+M)v_(f1) $

Così è corretto?

Grazie

[Falco5x]

Secondo me fai confusione coi segni.
Occorre applicare le regole in modo rigido.
La regola dei moti relativi dice:
la velocità assoluta di un corpo è uguale alla velocità assoluta del sistema in movimento (orientato in modo concorde col sistema assoluto) più la velocità relativa del corpo misurata in quel sistema di riferimento in moto.
Pertanto se la velocità del sistema in movimento è quella della slitta 1 cioè $ v_1$, e se la velocità del gatto rispetto a essa è $v$, allora la velocità assoluta del gatto va scritta così:

$${v_g} = v + {v_1}$$

E questo vale sempre, sia che si tratti di grandezze positive, cioè concordi col verso positivo del sistema di riferimento assoluto, sia che siano in verso contrario. Sarà il segno delle velocità trovate a dirci in quale verso vanno, non dobbiamo preoccuparcene noi a priori. La regola va scritta sempre in questo modo.

Analogamente quando si dice che la quantità di moto del sistema rimane inalterata significa esattamente questo: nel caso del gatto appollaiato sulla slitta 1 ferma la quantità di moto è 0 prima del salto. Ebbene deve essere 0 anche dopo il salto. Ma la quantità di moto è una grandezza vettoriale prodotto di massa per velocità, e non per -velocità. Dunque durante il primo salto si deve scrivere:

$$m{v_g} + M{v_1} = 0$$

ovvero la quantità di moto totale come somma delle quantità di moto deve essere ancora nulla.

Mettendo insieme queste relazioni e sviluppando i calcoli si trova:

$$\eqalign{
& {v_g} = v + {v_1} \cr
& m{v_g} + M{v_1} = 0 \cr
& m\left( {v + {v_1}} \right) + M{v_1} = 0 \cr
& {v_1}\left( {m + M} \right) + mv = 0 \cr
& {v_1} = - \frac{m}
{{m + M}}v \cr
& {v_{g1}} = v - \frac{m}
{{m + M}}v \cr
& {v_{g1}} = \frac{M}
{{m + M}}v \cr} $$

Commentiamo questo risultato.
La $${v_{g1}} = \frac{M}
{{m + M}}v$$ dice semplicemente che la velocità assoluta del gatto durante il salto è concorde con la sua velocità relativa, cioè se salta da destra a sinistra sarà anch'essa da destra a sinistra, mentre se salta da sinistra a destra anche la sua velocità assoluta sarà da sinistra a destra. Non occorre saperlo a priori, è l'algebra che ce lo dice.
Viceversa la $${v_1} = - \frac{m}
{{m + M}}v$$ ci dice che la velocità della slitta 1 durante il salto del gatto sarà discorde con il verso della velocità relativa del gatto, cioè la slitta va dalla parte opposta rispetto al gatto.

I calcoli successivi vanno impostati con lo stesso rigore, altrimenti non ci si capirà più niente alla fine.