Dubbio su termodinamica: trasformazione PV^k

[lotuno]

Buona sera, dato il periodo di esame ho deciso di incrementare con lo svolgimento dei problemi (a proposito, se conoscete qualche strategia risolutiva o qualche consiglio che può essere d'aiuto nella risoluzione di problemi di fisica in Meccanica e Termodinamica non esitate a mandarmi PM -riceverete la mia benedizione!) e mi sono imbattuto un esercizio che sono riuscito a svolgere solo parzialmente. Vi chiedo di darci un'occhiata e aiutarmi a capire quali dettagli non ho considerato, grazie in anticipo

"Una mole di gas perfetto, inizialmente in uno stato a volume $V_0$ di 3 litri e pressione $P_0$ di 1.2 atm, compie una trasformazione quasi statica di equazione $PV^(alpha) = cost$, con $alpha$ di 1.5. Sapendo che arriva a volume finale doppio di quello iniziale, determinare il lavoro svolto. Sapendo inoltre che il calore scambiato con l'ambiente è $Q$ = 53.3J, ricavare se si tratti di un monoatomico o un biatomico. "

In questo caso ho posto P = $(nrT)/(V^(alpha))$ e sono andato ad integrare la legge, tenendo conto che poi $nrT$ può essere riscritto come $P_0V_0^(alpha)$ (costante di integrazione, o comunque stato iniziale): ottengo così $P_0V_0^(alpha)$*$1/(1-alpha)$*($V_f^(1-alpha) - V_0^(1-alpha))$ che mi viene in totale 212J, risultato che combacia con quello del libro. Da qui dovrei determinarne la natura, e richiamo il concetto di energia interna: $nc_vDeltaT = Q - L$ tuttavia non capisco come si possa arrivare alla formula propinata dal testo, ovvero: $nR*((Q-L)/(P_0V_0[(V_f/V_0)^(1-alpha)-1]))$ che dà come risultato un monoatomico.

[alessandro8]

In questo caso ho posto P = $ (nrT)/(V^(alpha)) $ e sono andato ad integrare la legge, tenendo conto che poi $ nrT $ può essere riscritto come $ P_0V_0^(alpha) $ (costante di integrazione, o comunque stato iniziale): ottengo così $ P_0V_0^(alpha) $*$ 1/(1-alpha) $*($ V_f^(1-alpha) - V_0^(1-alpha)) $ che mi viene in totale 212J, risultato che combacia con quello del libro.

Ciao.

Attenzione: hai commesso due errori che, però, si sono compensati a vicenda e questo è il motivo che spiega il risultato esatto ottenuto nel calcolo del lavoro termodinamico; infatti non può valere

$P =(nrT)/(V^(alpha))$ con $alpha!=1$

perchè verrebbe violata la legge universale dei gas perfetti $PV=nRT$; semplicemente si doveva usare

$P_0V_0^alpha=P(V)*V^alpha Rightarrow P(V)=P_0V_0^alpha*V^-alpha$

da cui si calcola il lavoro termodinamico $W$, dato da

$W=int_{V_0}^{V_f}P(V)dV=P_0V_0^(alpha)*1/(1-alpha)*( V_f^(1-alpha) - V_0^(1-alpha))$

ma non si può sostenere che $P =(nrT)/(V^(alpha))$ se $alpha!=1$.

Saluti.

[lotuno]

Ti ringrazio per il chiarimento, ma ho ancora un dubbio su come si possa poi arrivare a quel risultato... in teoria non dovrei sostituire $T$ dell'energia interna con $nR/(PV)$? Ho provato in svariati modi ma non arrivo mai a quella formula.

$T_0$ penso sia riconducibile a $P_0V_0$ qundi ho capito il perché del -1 (non quello dell'esponente) nella quadra, ma il termine esponenziale non vuole venire fuori

[alessandro8]

Ciao.

Si ricordi che, per ipotesi, si deve avere

$V_f=2V_0 Rightarrow P_f=P_0*2^(-alpha)$ (ricavato da $P_fV_f^alpha=P_0V_0^alpha$)

quindi

$P_fV_f=2^(1-alpha)P_0V_0$.

Indicando con $l$ il numero di gradi di libertà della molecola del gas, è noto che

$DeltaU=l/2nRDeltaT$

inoltre, per il primo principio della termodinamica, si ha

$DeltaU=Q-W$

quindi

$l/2nRDeltaT=Q-W Rightarrow l=(2(Q-W))/(nRDeltaT)$

Ora, valendo

$nRDeltaT=nR(T_f-T_0)=nRT_f-nRT_0=P_fV_f-P_0V_0=P_0V_0[2^(1-alpha)-1]$

si ottiene, finalmente, che

$l=(2(Q-W))/(P_0V_0[2^(1-alpha)-1])$

dal cui valore si deduce il tipo di molecola del gas perfetto in esame.

Saluti.

[lotuno]

Ti ringrazio, sei sempre molto rapido e preciso nelle risposte. Complimenti, c'è sempre da imparare!

[alessandro8]

Ti ringrazio, sei sempre molto rapido e preciso nelle risposte. Complimenti, c'è sempre da imparare!

Di nulla.

Comunque anch'io continuo ad imparare cose nuove, anche grazie a questo forum.

Saluti.