Salve Ragazzi , ho alcuni dubbi circa questo problema :
Sia una spira di lati $l$ e $h$ , la spira è percorsa da corrente $i$ . Si dimostri che il campo magnetico $\vec{B}$ al centro della spira vale :
$\vec{B}(0)=\frac{2 \mu_0 i }{\pi} \frac{\sqrt{l^2 + h^2}}{lh}$
Ho impostato il problema cosi :
Secondo la legge di laplace : $\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}} {r^3}$
Bene... devo "convertire" i $d\vec{l}$ , $r$ ed $\vec{r}$ nel caso specifico del mio problema.
Ho inoltre impostato il mio sistema di riferimento con origine O coincidente con il baricentro della spira quindi $O=(\frac{l}{2};\frac{h}{2})$ con asse $\vec{y}$ parallelo al lato $l$ e asse $\vec{x}$ parallelo lato $h$ . Quindi secondo questo sistema di riferimento il $d\vec{l}$ della formula di Laplace è un $d\vec{h}$ mentre $\vec{r}$ che sarebbe il raggio vettore che congiunge $O$ con il tratto $dh$ , e qui iniziano i miei dubbi.. , ho posto $\vec{r}=sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}$
Sostituendo alla formula ho : $\vec{B}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{h} \times sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}}} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$ Svolgendo il prodotto vettoriale ho ..
$B(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_0^(2\pi) \frac{dh sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}} \sin\psi} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$
Ipotizzando che i miei ragionamenti siano corretti , non ne sono sicurissimo , come posso procedere?
Purtroppo ancora non ho fatto gli integrali multipli , credo che bisogna effettuare un cambio di coordinate...