Esercizi sulla Cinematica

[Bad90]

Esercizio 1

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Si costruisce il grafico di $ x $ in funzione del tempo e si determinano i valori delle $x$ in ogni tempo $t$.

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Per il tempo t iniziale t=0, quindi dalla formula data dalla traccia, si sostituisce il valore della t che si vuole prendere in considerazione e si determina il calcolo della x, nel seguente modo:

$t_i = 0s $
$x(t)_0 = 74m – (14m/s) *0 s = 74m $

$t_1 = 1s$
$x(t)_1 = 74m – (14m/s) *1 s = 60m $


$t_2 = 2s $
$x(t)_2 = 74m – (14m/s) *2 s = 46m $

$t_3 = 3s $
$x(t)_3 = 74m – (14m/s) *3 s = 32m $

$t_4 = 4s $
$x(t)_4 = 74m – (14m/s) *4 s = 18m $

$t_5 = 5s $
$x(t)_5 = 74m – (14m/s) *5 s = 4m $

$t_6 = 6s $
$x(t)_6 = 74m – (14m/s) *6 s = -10m $

[Bad90]

Esercizio 2

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Non sto capendo come si fa a determinare quella coordinata su un grafico
Vorrei capire la formula della $ x $ data dalla traccia:

$ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $

Non mi sono ancora trovato a risolvere queste equazioni con il seno e con gli angoli in radianti
Potreste aiutarmi a capirla

Provo a dire qualcosa:
La formula data $ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $ è espressa con angoli in radianti, ma se si vuole esprimerla in gradi, basta fare la conversione con la seguente:

$ alpha^o : alpha^r = 360^o : 2pi $

$ alpha^o = (360^o * alpha^r)/(2pi) $

$ alpha^o = (360^o * 0.44^r)/(2pi) $

$ alpha^o = 25.21^o $

Detto questo, è semplice calcolarla con la calcolatrice, ma anche con la modalità in radianti
Solo che poi non mi sono chiare le dimensioni Facendo un analisi dimensionale:

$ x(t) = 52mm sin[(0.44 (rad)/s)t] $

$ x(t) = [L] sin[(0.44 (rad)/[T])[T]] $

Quel $ sin $ e quel $ rad $, come và inteso

[navigatore]

Esercizio 1 : perfetto!

[navigatore]

Esercizio 2

Fai innanzitutto quello che il dice il testo, cioè sulla calcolatrice cambia "deg" in "rad", tutte le calcolatrici buone danno questa possibilità. Poi, costruisci prima una tabellina, dove nella prima colonna metti i valori del tempo, e in corrispondenza nella seconda vengono i valori calcolati con la calcolatrice, usando la funzione "sen" . Per esempio, dopo $1s$ devi calcolare il valore di $sen(0.44)rad$ , e lo devi moltiplicare per $52mm$ che è scritto come fattore del seno.
È chiaro che per $t=0$ si ha $x(0) = 0$ perche il seno è zero se l'argomento è zero. Quando invece l'argomento è uguale a $90º$ che equivalgono a $\pi/2 $ radianti, si ha: $sen\pi/2 = 1$ , quindi la curva detta "sinusoide" ha la sua massima ampiezza che è $1$. Ma nel tuo caso la massima ampiezza è $52 mm$, dalla parte positiva delle $x$. Quando l'argomento diventa uguale a $\pi rad$ , si ha : $sen\pi = 0$ , e dopo il seno diventa negativo.

Quando $t = 15s$ , l'argomento del seno vale : $ 0.44*15 rad = 6.6 rad$ quindi hai superato anche l'angolo giro di $360º = 2\pi rad = 6.28 rad$ . Cioè la sinusoide ha superato un periodo completo.
Lo so, non è facile per me farmi capire, spero che questo ti aiuti. Comunque, costruisci la tabellina e riporta i punti sul grafico. Ottieni una spezzata che "approssima" una sinusoide. I punti obbligati di valore zero e valore max te li ho detti, ma la spezzata forse non ci passa. ci passerà vicino.

[Bad90]

Ecco il grafico:

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Sei stato chiarissimo, si tratta del grafico della funzione $ y = sen x $ , tutto quì! Effettivamente il grafico parla chiaro, si ha un periodo completo più l'inizio di un secondo periodo! Ho compreso chiaramente l'esercizio in questo primo punto a)!

[navigatore]

Penso tu abbia capito. Puoi fare un grafico anche assumendo una unità di lunghezza più grande sulle ascisse, rispetto alle ordinate. Così il grafico si allunga sull'asse $x$.

Non ricordi l'equivalenza tra angoli espressi in gradi e espressi in radianti? Cerco di spiegarti brevemente, sempre in parole povere e....poco rigorose!

Ogni arco di circonferenza ha una sua lunghezza, ovvio, che a parità di raggio $r$ della circonferenza è proporzionale all'angolo al centro.
L'angolo al centro, al quale corrisponde un arco di circonferenza che ha la stessa lunghezza del raggio, si assume come "radiante" . Quest'angolo vale circa $57.3º$ , ed è indipendente dalla lunghezza del raggio della circonferenza.

L'angolo al centro corrispondente ad una intera circonferenza vale 360º, cioè l'angolo giro.
La lunghezza della circonferenza è $2\pir$ essendo $r$ il raggio. Se fai il rapporto tra la lunghezza detta e il raggio $r$ , ottieni $2\pi$.
Perciò vuol dire che in una intera circonferenza ci sono $2\pi$ radianti. In una semicirconferenza ce ne sono $\pi$ , cioè circa $3.14...$ angoli come quello che ti ho detto. In $90º$ ce ne sono $\pi/2$ ... e così via.
E si può scrivere una proporzione : $ \alpha_(rad) : \alpha_(deg) = \pi : 180º $

Fai delle prove, esercitati, non è difficile.

[Bad90]

Sto trovando problemi nel risolvere il punto b)
Se ho i rispettivi valori per ogni secondo:

$ 0s===>0mm $
$ 1s===>22.14mm $
$ 2s===>40.07mm $
$ 3s===>50.37mm $
$ 4s===>51.07mm $
$ 5s===>42.04mm $
$ 6s===>25.00mm $
$ 7s===>3.20mm $
$ 8s===>-19.21mm $
$ 9s===>-37.96mm $
$ 10s===>-49.48mm $

Come faccio a determinare lo spazio percorso tra $ t=0.0 $ e $ t=10 $
Dal grafico, capisco che l'oggetto percorre fino al punto 4, lungo un valore $ +x $ in quanto dal grafico si ha una curva crescente fino al punto 4, poi c'è un cambio di direzione della curva.

[navigatore]

Per risolvere il punto b) , devi fare la somma dei 10 spostamenti : da 0 a 1s , da 1s a 2s, .....da 8 a 9s, da 9 a 10s. Non c'è altra via.
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ha postato mentre scrivevo. Poco male. Hai tutti i valori in tutti i punti : come ti dicevo prima, devi trovare i 10 spostamenti e sommarli.

[Bad90]

Per risolvere il punto b) , devi fare la somma dei 10 spostamenti : da 0 a 1s , da 1s a 2s, .....da 8 a 9s, da 9 a 10s. Non c'è altra via.
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ha postato mentre scrivevo. Poco male. Hai tutti i valori in tutti i punti : come ti dicevo prima, devi trovare i 10 spostamenti e sommarli.

Ok, ma mi trovo con un valore di $ 127.24 mm $ mentre il testo mi dice che deve essere $ 153 mm $
Perchè mai

[navigatore]

Io veramente trovo un totale di $151.62$, può darsi sia colpa degli arrotondamenti. MA i valori sono giusti? Mi sono fidato dei valori che hai messo.
Comunque, di ogni spostamento devi considerare il modulo, cioè quando fai le differenze devi prenderne il valore assoluto, chiaro?