da navigatore » 22/11/2014, 18:09
Calcolare a mano le componenti del tensore di Riemann (non i tensori, perché il tensore è uno, ma ha teoricamente 256 compoenti = $4^4$ , di cui per fortuna molte sono nulle) è un grosso problema. Per fortuna, vengono in aiuto le simmetrie ed emisimmetrie del tensore stesso :
1) Scritto il forma completamente covariante : $R_(\alpha\beta\mu\nu) $ , e posto $X = (\alpha, \beta) $ e $Y = (\mu\nu)$ risulta, dalla espressione generale del tensore (che non riporto), che :
$R_(XY) = R_(YX)$ , cioè : simmatria scambiando la prima coppia di indici con la seconda.
2) $R_(\alpha\beta\mu\nu) = - R_(\beta\alpha\mu\nu) $ , cioè : emisimmetria rispetto alla prima coppia di indici. Questo vale anche per la seconda coppia di indici.
3) infine , vale l'identità che Bianchi, che tu certamente conosci.
Tutte queste simmetrie ed emisimmetrie riducono le componenti indipendenti a $ (N^2(N^2 - 1))/(12)$ , dove $N$ è la dimensione dello spazio. Come sai, nel caso di 4 dimensioni (spaziotempo della relatività generale ) quel numero è uguale a 20.
Io non ho capito quante sono le dimensioni del tuo spazio, francamente. Comunque , la strada da seguire "a mano" è una sola :
1)scrivere il tensore metrico in forma covariante, cioè la matrice dei coefficienti $g_(\alpha\beta)$ della metrica. Se è diagonale, la forma controvariante si ottiene facilmente, ogni coefficiente controvariante è l'inverso del rispettivo covariante con gli stessi indici. I termini fuori diagonale sono nulli .
2) scrivere l'espressione più generale dei simboli di Christoffel di 2°specie, cioè i $Gamma_(\mu\nu)^\alpha = 1/2 (……..)$ che conosci . Calcolare questi simboli facendo le derivate che ti servono ( per fortuna nel tuo caso devi derivare solo rispetto al tempo) e le sommatorie previste dai simboli di Christoffel
3) una volta determinati i simboli di Chr. diversi da zero, calcolare le componenti del tensore di Riemann secondo definizione : derivate prime e prodotti di simboli di Chr.
È un lavoraccio, lo so. Io l'ho fatto una volta, cioè una sola volta nella mia vita, per la metrica di Schwartzschild, e ho sudato sette camicie, scrivendo ben undici fogli di calcoli, per calcolarmi le 20 componenti non nulle di Riemann. Ma poi sono andato avanti, perché mi sono trovato pure il Ricci e la traccia di Ricci, e infine il tensore di Einstein.
Ma nel tuo caso, ripeto, vedo maggiore semplicità, poiché c'è da derivare solo rispetto al tempo. In bocca al lupo, io non posso dirti altro.