navigatore ha scritto:Davide, probabilmente non hai prestato molta attenzione a questo, che avevo già scritto
Grazie per avermi rammentato che si può usare l'identità \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\)! Non ci avevo pensato perché, in questa fase iniziale dei miei studi, preferisco esplicitare sempre a me stesso le quantità relative ad un sistema o all'altro, ma mi è chiara comunque l'uguaglianza che scrivi. Infatti l'espressione che citi \(\big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_F = \big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_M + \vec\omega\times\vec\omega\) dove, usando la notazione da me introdotto nel post originale, \(\big[\frac{d\vec\omega}{dt}\big]_M\) corrisponde per definizione a \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M=\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}\). Tale uguaglianza si dimostra osservando che per ogni \(\mathbf{r}\) differenziabile, grazie alle formule di Poisson, vale\[\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k})}{dt}\]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{i}\frac{d\mathbf{i}}{dt}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{j}\frac{d\mathbf{j}}{dt}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{k}\frac{d\mathbf{k}}{dt} \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{i}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{i}) +\mathbf{r}\cdot\mathbf{j}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{j}) +\mathbf{r}\cdot\mathbf{k}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}) +\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}) +\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times((\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}) \]\[=\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{i})}{dt}\mathbf{i}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{j})}{dt}\mathbf{j}+\frac{d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{k})}{dt}\mathbf{k}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}=:\bigg[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\bigg]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.\]
navigatore ha scritto:Francamente non capisco dove vuoi andare a parare, con tutti i passaggi matematici che scrivi. Hai la tendenza a complicare le cose semplici.
Ho cercato di dimostrare che \( \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}\big( \frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega}) \big) \) utilizzando proprio l'identità \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M\), ma scrivendo
1 esplicitamente \(E\big(\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{i})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{j})}{dt},\frac{d(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{k})}{dt}\big)\) per \(\big[\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\big]_M\), e provando quest'ultima identità in modo leggermente diverso da quanto fatto qui sopra (qui sopra ho usato invece il metodo, che, sicuramente a causa delle mie limitatissime abilità matematiche, a me non sembrava particolarmente più semplice, anche se, come mi fai giustamente notare, è decisamente molto più interessante perché valido più in generale, di
questo, che ho trovato solitamente usato in varie cose che ho letto per provare l'uguaglianza \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\)), esplicitando vari passaggi in modo che chi risponde alla mia domanda possa dirmi
è sbagliato questo passaggio o, se invece fossero giusti, perché servano a chi in futuro si ponga la stessa domanda e ne cerchi una dimostrazione dai passaggi il più espliciti possibile, dato che, ovviamente, in matematica, più passaggi si esplicitano più è immediata la comprensione da parte di chi legge.
Comunque ci si arrivi, sia come avevo fatto prima
qui, sia grazie all'identità \(\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_F=\big[\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big]_M+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\) dimostrabile come invece appena fatto in questo post,
oso chiedere di nuovo, a navigatore o a chiunque altro legga, nuovamente rischiando di espormi al pubblico ludibrio,
se è vero o no che \(\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I^{-1}\big( \frac{d\mathbf{L}_{cm}}{dt}-\boldsymbol{\omega}\times (I\boldsymbol{\omega}) \big)\) (dove le notazioni
2 sono sempre quelle del
post linkato quando ho posto la prima volta la domanda).... Chiedo solo conferma dell'eventuale correttezza di quanto ho scritto o dove e perché ho sbagliato se ho sbagliato...
navigatore ha scritto:Queste cose non le trovi in un libro di fisica elementare, ma in un buon libro di meccanica razionale sì .
Sì, anch'io mi rendo conto di pormi domande cui non è agevole trovar risposta, almeno senza accontentarsi di dare a se stessi risposte in parte basate su osservazioni empiriche o intuitive, con la limitata preparazione che ho dai primi capitoli di meccanica del mio libro di fisica elementare.
Grazie per la bibliografia!!!!! Il Goldstein, tuttavia, l'ho trovato
criticato per lo scarso rigore matematico... che cosa ne pensi?
$\infty$ grazie ancora!!!!!
"Le dimostrazioni rendono bella la matematica e danno significato alla vita di un matematico" Choe Jaigyoung