Per spiegare il punto b occorre prima fare quello che ha fatto professorkappa, cioè partendo dalla conservazione del momento angolare:
$$\eqalign{
& {v_0}{m_B}R = \left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}R + \frac{1}
{2}M{R^2}\frac{{{v_1}}}
{R} = \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{1}
{2}M} \right)R{v_1} \cr
& {v_1} = \frac{{2{m_B}}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0} \cr} $$
Poi si scrive l'energia totale iniziale che deve essere costante, e quindi uguale a quella finale:
$$\eqalign{
& {E_i} = {E_{ki}} + {E_{Pi}} = \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}{\omega ^2} + \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}^2 + 0 + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0}} \right)^2} \cr
& k\left( {{l_i} - {l_0}} \right) = {m_A}g \cr
& \omega = \frac{{{v_1}}}
{R} \cr
& {E_f} = {E_{kf}} + {E_{Pf}} = 0 - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} \cr
& {E_i} = {E_f} \cr
& \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} = \cr
& = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} + \frac{1}
{2}k{\delta ^2} + {m_A}g\delta \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 = 0 \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2 = 0 \cr} $$
Da cui si ricava delta con la formula risulutiva delle equazioni di secondo grado:
$$\eqalign{
& \delta = \frac{{{m_B}g + \sqrt {{m_B}^2{g^2} + k\frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2} }}
{k} = \frac{{{m_B}g}}
{k} + \sqrt {\frac{{{m_B}^2{g^2}}}
{{{k^2}}} + \frac{{2{m_B}^2}}
{{k\left( {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right)}}{v_0}^2} = \cr
& \delta = \frac{{{m_B}g}}
{k}\left( {1 + \sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} } \right) \cr} $$
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.
