Mi correggano i pro se dovessi cadere in errore, premetto sempre che sono uno studente come te
Il lavoro è la circuitazione del campo $\bar F$ ed esso vale
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$ dove $gamma$ è il "percorso" che va da $O$ ad $A$
si dimostra che se un campo è conservativo allora esiste un potenziale $U$ tale che $nabla U=-\bar F$ ed il lavoro calcolato lunga una qualsiasi curva che congiunge due punti $A$ e $B$ equivale ad $L=U(B)-U(A)$ ma non è il nostro caso perchè abbiamo visto che non è un campo conservativo (perchè il rotore non è nullo)
ora andiamo a vedere come si calcola il lavoro lungo una curva $gamma$.
Consideriamo per esempio il punto 3 che è un caso più generale.
Dobbiamo parametrizzare la retta che congiunge $O(0,0)$ ed $A(2,4)$.
Nel caso in cui la tua curva è del tipo $y=f(x)$ allora è facile da parametrizzare infatti ti basta porre la $x=t$ e il resto vien da sè.
Vediamo il caso specifico. La retta ha equazione $y=2x$
$ gamma(t)={ ( x=t ),( y=2t):} $
con $( 0leqtleq2 )$
e si capisce perché la $t$ varia da $0$ a $2$ basta guardare le coordinate dei punti in questo caso; vedrai di conseguenza variare anche la coordinata $y$
Apro una parentesi a proposito delle curve.
Una curva $gamma(t)=(x(t),y(t))$ (lo stesso vale nello spazio) la puoi immaginare come la traiettoria tracciata da un corpo puntiforme che si muove nel piano.
Nell'istante di tempo $t=t_0$ il corpo si trova nel punto $P_0$ di coordinate $x(t_0), y(t_0)$
Nell'istante $t_1$ il corpo si trova nel punto $P_1$ di coordinate $x(t_1), y(t_1)$
e così via.
Torniamo al nostro problema.
Dobbiamo calcolare il lavoro
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$
$\hat t$ è un vettore tangente alla curva in ogni punto
$L=int_gamma \bar F(gamma(t))*gamma'(t)*dt$ abbiamo tutto, quindi
$L=int_0^2 (4t^2-t^2,6t)*(1,2)dt=int_0^2 (4t^2-t^2+12t) dt =int_0^2 15t^2dt$
che si risolve normalmente.
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Vediamo il primo punto ora che è un caso "particolare" in cui $gamma$ va spezzata in due tratti poiché andando da $O$ ad $A$ non si ha un'unica curva regolare del piano del tipo $y=f(x)$.
"particolare" tra virgolette perché come vedrai è molto semplice.
i due tratti sono
$ gamma_1(t)={ ( x=t ),( y=0):} $
con $( 0leqtleq2 )$
$ gamma_2(s)={ ( x=2 ),( y=s):} $
con $( 0leqsleq4 )$
la $x$ non è $0$ come hai detto nel tuo ultimo post.
E' costante, sì, e vale $2$
Riguardando la considerazione fatta sulle curve si capisce perché $gamma_2$ è parametrizzata in tal modo,
isn't it?:smt023
$L=int_(gamma_1) \bar F(gamma_1(t))*gamma_1'(t)*dt+int_(gamma_2) \bar F(gamma_2(s))*gamma_2'(s)*ds$
sostituendo (occhio alle derivate)
$L=int_0^2 (-t^2,0)*(1,0)*dt+int_0^4(s^2-4,6s)*(0,1)*ds=int_0^2 (-t^2)dt+int_0^4 6s*ds$
sarà compito dello studente svolgere il calcolo di questi integrali
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il punto due è uguale al precedente.
Ti faccio osservare che se il lavoro calcolato lungo curve diverse congiungenti due punti ti viene uguale non significa che il campo sia conservativo!
Vale il contrario: se un campo è conservativo allora il lavoro lungo lungo curve diverse congiungenti due punti è uguale
Anyway...
Se hai problemi scrivi.
Ripassa comunque
Le curve e le parametrizzazioni
I campi vettoriali, i campi conservativi e il calcolo del potenziale