Mi scuso se farò un intervento leggermente OT, ma trovo interessante il problema posto da navigatore:
navigatore ha scritto:L'esercizio non parla di "disco che rotola verso il gradino" , e di quale deve essere la velocità angolare minima che deve avere al momento dell'urto affinché possa "salire il gradino" .
Questo sarebbe stato un esercizio molto più interessante, e vi dirò che mi sono messo a risolverlo. Poi ho lasciato stare perché non è richiesto.
In particolare si deve notare che affinché il disco salga sul gradino in maniera "liscia", l'urto contro lo spigolo deve avvenire con modalità del tutto anelastica ma senza strisciamento, cioè la superficie del disco deve rimanere in contatto col gradino senza scivolare e senza rimbalzare.
Occorre quindi distinguere tra velocità angolare un istante prima dell'urto e un istante dopo l'urto, e per quanto detto le velocità angolari devono essere differenti, in quanto negli urti anelastici c'è perdita di energia.
Dato per scontato che nota la velocità angolare subito dopo l'urto è facile calcolarne il valore minimo affinché il disco salga il gradino (basta eguagliare energia cinetica con la differenza di energia potenziale), vorrei soffermarmi al calcolo della velocità angolare in istante prima dell'urto in funzione della velocità angolare richiesta subito dopo l'urto.
A tale scopo notiamo che al momento dell'urto l'impulso che la punta del gradino comunica al disco è incognito. Allora se utilizziamo la costanza del momento angolare calcolato proprio rispetto al polo costituito dalla punta del gradino, questo momento angolare si conserva.
Chiamo senza apice le grandezze velocità angolare e momento angolare subito dopo l'urto, menttre chiamo con apice le stesse grandezze subito prima dell'urto. Inoltre immagino che il disco prima dell'urto viaggi con puro rotolamento.
Allora posso eguagliare i momenti angolari prima e dopo l'urto:
$$\eqalign{
& {L_0} = I{{\dot \theta }_0} = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr
& {{L'}_0} = \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) \cr
& {{L'}_0} = {L_0} \cr
& \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr} $$
Da cui ricavo la relazione tra le velocità angolari prima e dopo l'urto:
$${{\dot \theta '}_0} = \frac{{{{\dot \theta }_0}}}
{{1 - \frac{{2h}}
{{3R}}}}$$
Edit: ho corretto il risultato precedente, che era sbagliato a causa di un banale errore di calcolo
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.