Qui abbiamo capito che non è un errore scrivere $c+v$ oppure $c-v$ , in relatività ristretta. Per lo meno, spero di averlo spiegato.
Sfruttiamo ora questo risultato. Nel treno c'è una sorgente di luce al centro che spara fotoni in avanti e all'indietro, contemporaneamente per un osservatore A solidale al treno. I due fotoni raggiungono contemporaneamente le due pareti 1 (avanti) e 2 (indietro), sempre secondo il tempo di A .
La ragione è semplice : metà lunghezza del treno è percorsa alla velocità $c$.
Ora guardate questa figura:
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Nella figura, a terra c'è un osservatore B (fisso), davanti al quale passa il treno su cui si trova A. LA prima immagine riporta il punto di vista di A, che vede B muoversi verso sinistra. LA seconda riporta il punto di vista di B, che vede il treno muoversi verso destra.
Come valuta B i suoi tempi di arrivo dei due fotoni sulle pareti 1 e 2 ?
Diciamo subito che, secondo B , il treno in moto ha una certa lunghezza $L$ , per ora non nota : come fa B a stabilire la lunghezza $L$ del treno che gli passa davanti a fortissima velocità ? SE fossimo in meccanica classica, non ci porremmo neppure il problema, diremmo che il treno è ugualmente lungo, sia per A che per B.
Ma il treno è in moto rispetto a B. Si tratta quindi di stabilire la lunghezza di un oggetto in moto, rilevando contemporaneamente gli estremi dell'oggetto, e stavolta l'avverbio di tempo si riferisce a B. Si possono escogitare dei sistemi ottici, basati su rilevatori a terra che registrano i passaggi della testa e della coda, ma come si immagina c'è sempre il "tempo" di mezzo. In effetti, la lunghezza $L$ è legata al trascorrere del tempo per B , come vedremo dopo.
In questo video , la velocità della luce è piccolissima, paragonabile a quella del carrello rispetto a terra, perciò il fenomeno è "visibile".
Per ora, tuttavia, immaginiamo di avere a disposizione un sistema, che consenta a B di stabilire esattamente quanto vale $L$ secondo lui.
Allora, ritornando al discorso, dal centro treno partono i due fotoni, uno verso poppa (parete 2) e l'altro verso prua (parete 1) ; A osserva che essi arrivano per lui contemporaneamente sulle due pareti.
Ma nessuno ci obbliga, a priori, a dire che le misure di tempo sono uguali per due osservatori che si trovano in uno stato di moto relativo : questo è un assunto della meccanica classica, ma è ciò che precisamente la RR dimostra essere falso.
Se fossimo in meccanica classica, e i due fotoni fossero due palline di ping-pong, essi arriverebbero contemporaneamente sulle pareti anche per B che si trova a terra : basta comporre classicamente le velocità : è un esercizio di fisica 1 .
MA ora no.
Il fotone che va verso la poppa, come è visto da B ? Il segmento $l = L/2$ ( ribadisco che $L$ è la lunghezza misurata da B) è percorso in parte dal fotone e in parte dalla parete 2; l'incontro avviene in un istante $t_2$ di tempo di B tale che :
$L/2 = v*t_2 + c*t_2 $
per cui : $ t_2 = L/(2(c+v)) $
e come abbiamo visto non è un delitto scrivere (c+v) .
Il fotone che va verso la prua deve invece "rincorrere" il punto 1 che si allontana. Perciò il fotone arriva alla parete 1 nel tempo $t_1$ di B dato da :
$L/2 + v*t_1 = ct_1$ , e cioe : $t_1 = L/(2(c-v)) $
Chiaramente $t_1 > t_2$ . Perciò per B avviene prima 2 e poi 1. I due eventi per B non sono contemporanei, mentre lo erano per A . Calcoliamo la differenza dei tempi secondo B :
$t_1 - t_2 = L/(2(c-v)) - L/(2(c+v)) = L/2 * (2v)/(c^2 - v^2) = (vL)/(c^2 - v^2) = (vL)/c^2 * c^2/(c^2 - v^2) = (vL)/c^2 * 1/(1-(v/c)^2) = \gamma^2(vL)/c^2$
dove si è posto : $\gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2)$
Come si giustifica fisicamente che :
$t_1 - t_2 = \gamma^2(vL)/c^2$ ---------(1) ?
Per capire questo, dobbiamo prima sciogliere il nodo del valore della lunghezza $L$ del treno misurata da B, lunghezza che non è la stessa di quella di quiete, cioè misurata da A che sta nel treno.
Immaginiamo allora un'altra situazione, quella della figura seguente :
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Supponiamo che la sorgente di fotoni sia ora nella parete posteriore $2$ del treno, che si muove da $2$ verso $1$ (da sinistra a destra sul foglio) con velocità $v$ rispetto alla terra. Nella parete anteriore è posto uno specchio, che riflette all'indietro i fotoni in arrivo.
Noi sappiamo, da altre considerazioni, ( cfr. ad es. l'orologio a luce ) , che il tempo dell'orologio in moto, quando confrontato con quello coordinato, mostra un $\Delta\tau$ inferiore, tra due stessi eventi che per l'orologio in moto avvengono nello stesso punto del "suo spazio solidale" , rispetto all' OI solidale con lo specchio, che misura $\Deltat$ .
(Ricordiamoci che il ritardo dell'orologio in moto si riscontra solo quando confrontiamo le sue letture con almeno due letture dell'orologio in quiete).
Chiamo $L' $ la lunghezza propria del treno misurata dal passeggero $A$ , che è in quiete in esso. A priori, non so come si rapporta $L'$ con la lunghezza $L$ misurata dall'osservatore fisso $B$.
Un fotone è emesso da $2$ verso $1$, dove è riflesso e torna in $2$ , dove c'è un ricevitore.
Rispetto a $A$ , il tempo di "andata + ritorno" è dunque : $\tau = (2L')/c$ . I due eventi "emissione e ricezione" sono separati per $A$ solo nel tempo proprio, perché avvengono nello stesso punto, la parete $2$ .
Invece per $B$ i due eventi sono separati sia nello spazio che nel tempo coordinato. Il tempo $t$ misurato da $B$ vale:
$t_B = \gamma\tau = \gamma *(2L')/c$ .
Chiamo $L$ la lunghezza del treno misurata da B. Si tratta, come nel caso precedente, di sommare algebricamente dei segmenti, percorsi in parte dalla luce e in parte da treno, sia all'andata che al ritorno (ricordiamoci che non è un errore scrivere $(c-v)$ oppure $(c+v)$ ).
Sommando i due percorsi, si ottiene che il tempo totale (di B) è dato da :
$t_B = L/(c-v) + L/(c+v) =……..= (2L)/c*\gamma^2 $
Ma abbiamo visto prima che : $t_B = \gamma\tau = \gamma *(2L')/c$ .
Perciò uguagliando si ha : $ (2L)/c*\gamma^2 = \gamma *(2L')/c$
e quindi : $ \gammaL = L'$ , ovvero : $L = (L')/\gamma $ . ----------(2)
Questa è la lunghezza contratta del treno misurata da $B$ .
Ritornando alla (1) , si vede quindi che :
$t_1 - t_2 = \gamma^2(vL)/c^2 = \gamma * v * (L')/c^2 $ ----------(3)
e cioè, le letture dei tempi nelle due pareti sono desincronizzate, per B, della quantità (3) , dove compare la lunghezza propria che separa le posizioni dei due orologi .
Questa desincronizzazione non è altro che la relatività della contemporaneità, e si può ricavare per altra via applicando le trasformazioni di Lorentz tra eventi visti da due osservatori diversi , A sul treno e B a terra.
Infatti , consideriamo gli eventi :
-Eventi 1 : il fotone arriva sulla parete anteriore 1
-Evento 2 : il fotone arriva sulla parete posteriore 2
e indichiamo le coordinate di B a terra con $(t,x)$ , quelle di A sul treno con $(t',x') $ .
Le TL inverse, applicate ai due eventi , tra i due osservatori, trasformano il tempo in questa maniera :
$t_1 = \gamma (t'_1 + (vx'_1)/c^2)$
$t_2 = \gamma (t'_2 + (vx'_2)/c^2)$
facendo la differenza :
$t_1- t_2 = \gamma [(t'_1-t'_2) + v/c^2(x'_1-x'_2)] = \gamma(t'_1-t'_2) + \gamma*v/c^2(x'_1-x'_2) $
Se $t'_2 = t'_1$ , cioè i due eventi sono contemporanei per A, essi risultano sfasati per B di :
$ \gamma*v/c^2(x'_1-x'_2) = \gamma (vL')/c^2$
notiamo che qui ci va la lunghezza propria $L'$ del treno. L'osservatore B a terra vede prima l'evento $2$ e poi l'evento $1$.
Due eventi, contemporanei per un osservatore A , non sono più contemporanei per un altro osservatore B in moto relativo rispetto ad A.
Direte: ma allora uno dei due sbaglia? No, hanno ragione tutti e due, secondo la relatività. Sono punti di vista diversi.
Ciao.